El Universo esta constantemente tratando de bajar su nivel de energia (como una corriente de agua bajando por un valle), mientras continuamente rompe su superior (tanto en energia como en dimensionalidad) simetria inicial. Esta simetria inicial puede ser vista como ramas de probabilidad bifurcandose, de chance y causalidad entremezclandose.
La razon para esto es que la energia/dimensiones superiores originales del Universo eran tambien altamente simetricas, lo cual, paradojicamente. significa que eran tambien altamente inestables. Objetos altamente simetricos son altamente inestables (imaginese el principio del universo como usted sentado en una esfera perfecta, altamente pulida), y tienen una alta probabilidad para inestabilidad porque cualquier desviacion de su parte del polo norte, lo hara rapidamente caerse resbalandose. Una minima inestabilidad gravitacional rapidamente rompesu posicion simetrica en el polo norte, y lo tira a un estado de menor energia potencial gravitatoria. Por lo tanto pequeñas desviaciones iniciales en situaciones inestables, lejanas al equilibrio, pueden llevar a consecuencias masivas, hasta cosmologicas. El Efecto Mariposa (tambien conocido como dependencia sensitiva de condiciones iniciales), es literalmente, Universal.

Ludwig Boltzmann es conocido para nosotros como el primero en proveer una interpretacion probabilistica, estadistica, de entropia. Esto es simplemente la tendencia de todo en el Universo a enfriarse a un minimo de energia o temperatura---conocido como equilibrio termal. La ruta a esta segunda ley de termodinamica es via un incremento de desorden en la organizacion de energia y materia.

La corriente rotura de simetria desde las condiciones originales conduce, entonces, de un estado altamente simetrico, ordenado, y energetico, hacia el opuesto, asimetrico, desordenado, y de baja energia;  desde un Big Bang de baja entropia, a un presente y futuro con mayor entropia.

La gran paradoja de la segunda ley, entonces, es el evidente, cada vez mas complejo, emergente y jerarquico orden que vemos todo alrededor nuestro. Como es que esta ordenada, estructurada informacion (expresada en patrones de materia y energia constantemente oscilando) puede persistir, dada esta tendencia hacia lo azaroso, hacia cada vez mayor entropia?

La teoria de sistemas dinamicos tambien trata con probabilidad, y puede, por lo tanto, permitirnos sintetizar termodinamica y el asi llamado "Caos" (que es en realidad una forma altamente compleja de orden jerarquico, uno-dentro-de-otro, que parece ser desorden). La parte realmente interesante aqui, sin embargo, son las entidades en la zona de transicion entre sistemas ordenados, estables, en equilibrio (de entropia maxima) y sistemas "desordenados" (pero complejos) y caoticamente inestables (de entropia minima).

Segun Ilya Prigogine, estos sistemas disipativos lejanos al equilibrio minimizan localmente su produccion de entropia siendo abiertos a su entorno---la exportan, de hecho, mientras importan baja entropia. Globalmente, el incremento de entropia total se preserva de todos modos, con la importante añadidura de que dicho sistema disipativo por lo general experiencia un incremento transitorio (u optimizacion) de su propia complejidad, o sofisticacion interna, antes de eventualmente desaparecer nuevamente en el flujo.

Esto ha sido denominado Emergencia, Maxima Complejidad, Criticalidad Autoorganizada, Autopoiesis, o el Borde del Caos (cabe aclarar que estos son terminos para esencialmente el mismo fenomeno).

Las formas de vida, ecosistemas, clima global, tectonica de placas, mecanica celeste, economias humanas, historia y sociedades, y hasta la conciencia misma, todas manifiestan este proceso  reflexivo, regido por retroalimentacion; cada vez que son empujadas lejos de sus estados de equilibrio, maximizan sus capacidades adaptativas entrando a esta region de (maxima) complejidad al borde del Caos,  logrando asi incrementar su complejidad interna, entre ocasionales catastrofes.

Remarcablemente, esta zona de transicion es matematicamente ocupada por la Proporcion Aurea. Esta proporcion (o razon) actua como un operador probabilistico optimizado, (una ecuacion diferencial como un switch binario oscilante [oscillating binary switch]), cada vez que observamos la quasi-periodica evolucion de un sistema dinamico. Parece, de hecho, ser la ruta optima. minimizadora de energia, hacia la region de maxima complejidad algoritmica, y ser una
cuenca de atraccion para el borde del Caos.
 

Aristoteles implico hace mas de dos milenios que la propia investigacion requerida era una de telos, de la "causa final" de la morfologia, de forma siendo el resultado de el proceso que la engendro.
Su "causa final" de la morfogenesis sugiere un imperativo detras de cualquier proceso generativo que ha sido interpretada como teniendo connotaciones teologicas (y teleologicas). Aqui tomaremos una ruta mas deterministica, en linea con la definicion de logos de su mentor Platon, como la "proporcion" que era conmensurada en cuadrado, que mejor cuadraba el circulo, o presentaba una unidad que era mas que la suma de sus partes.

Sera sugerido que este imperativo detras de la forma (como materia estatica, precipitada, resultante de un flujo dinamico de energia) es el resultado de la forma en que la naturaleza minimiza el gasto de energia (produccion de entropia), conocido tambien como el principio de minima accion. Tambien, que un medio de representar matematicamente este comportamiento parece ser analogo al comportamiento dinamico de la Proporcion Aurea.

Asi que como manifiesta la naturaleza este principio limitante en un modo que todavia permita la inmensa complejidad emergente que vemos? O, poniendolo de otra forma, como podemos demostrar que el principio de minima accion actua como un atractor de complejidad y de emergencia autoorganizada, via roturas de simetria hacia estados de energia mas bajos, hacia el borde del caos?

Todas las formas fractales, ya sean inertes (nubes, paisajes, cumulos de galaxias) o animados (plantas, animales), son copias autosimilares en escala de un original; sistemas caoticos (el clima, el sistema solar, el mercado de acciones) tambien poseen esta cualidad fractal, pero llevada al paradojico extremo de tener infinitas trayectorias dentro de un borde finito. para producir estas formas, un regimen de retroalimentacion recursiva debe estar operando. Retroalimentacion (codificar similaridades) subyace todo el tema.

Esta investigacion comenzo hace varios anios, como la intuicion de que la Proporcion aurea, o Phi, para abreviar (como razon) deberia ser de naturaleza fractal. Por extension, parecia plausible que Phi pueda tambien estar inserta, como un atractor de algun tipo, en sistemas dinamicos con dimensiones superiores, dado que los sistemas dinamicos complejos siempre tienen una estructura temporal fractal mientras evolucionan en el tiempo.

Una pista importante en direccion a las recien mencionadas interpretaciones, es el hecho de que Phi es simultaneamente una expansion aritmetica y geometrica de si misma y de la Unidad de la forma mas sencilla posible. Esto inmediatamente la situa en las areas lineal (progresion aritmetica) y no-lineal (progresion geometrica), y como un puente efectivo, operando entre las dos.

Virtualmente cada aspecto de geometria fractal y tipo de sistema dinamico puede ser expresado por variaciones del simple operador cuadratico: X = X**2 + c   , que expresa el tipo de retroalimentacion particular examinado.
Phi,  por una variacion relacionada pero mas arquetipica,puede ser expresado como derivando la serie de numeros de Fibonacci:  X[n+1] = X[n] + X[n-1]   , la cual incrementalmente gravita hacia una razon particular que posee cualidades unicas. Numericamente, puede ser derivado de la relacion   (1 + sqrt(5))/2.
Por ejemplo, si uno disminuye Phi por la Unidad, uno deriva su reciproca.
Adicionalmente, Phi es la unica razon que cumple con:  1/Ø + 1/Ø**2 = 1  . En otras palabras, Phi es tambien la unica posible aritmetica y geometrica a la vez, expansion y particion de Uno, la Unidad.

Esto conduce a la otra propiedad cardinal de Phi. Existe solo una division proporcional de Uno posible usando solo dos terminos, con el tercero siendo Uno mismo. De los ELEMENTOS de Euclides, libro Cinco, teorema Tercero (Alejandria, siglo tercero A.C.):

"Se dice que una linea recta ha sido cortada en forma extrema y media cuando, como la linea entera es al segmento mayor, asi tambien es el segmento mayor respecto del menor."

La Proporcion Aurea es entonces, un fractal arquetipico, en el hecho de que preserva su relacion consigo mismo (sus similaridades inherentes al ser escalado son simetrias conformales - con consecuencias topologicas, que son invariantes sobre si mismas), en la forma matematicamente mas robusta, economica, y elegante. Es analogia ejemplificada.

Como veremos, este comportamiento reciproco, cuadratico respecto de Uno, o la Unidad, como se denomina con mas propiedad, esta lejos de ser matematicamente trivial.

Todos los ciclos de realimentacion deterministicamente involucran el pasaje del tiempo. El iterador cuadratico es derivado del calculo diferenciual de Newton, y de un periodo donde la naturaleza era vista como un automata mecanistico, y reversible en el tiempo. Ciencia reciente demuestra que en realidad consiste a la vez de lo anterior y de procesos irreversibles, conocidos como la barrera de entropia, o la flecha del tiempo. La Proporcion Aurea tambien puede ser vista (por lo anterior) como la forma matematicamente mas simple y estable de comunicar o mediar entre los dos, como veremos.

Como fue mencionado, los ciclos iterativos recursivos (retroalimentacion), deben ocurrir en un cierto intervalo de tiempo, y tener un principio y un fin. Para dar un ejemplo crudo, esto es analogo (derivado del griego significando "accion proporcional", y mas conocido para nosotros como autosimilaridad) a la iniciacion de un sistema en el apex de un cono de espacio-tiempo, y a una progresiva winding alrededor de su extruding superficie (con la longitud del cono siendo la edad del sistema). La espiral bidimensional resultante inscripta en la superficie del cono representa un extruded origen, siendo Uno, constantemente creciendo en el tiempo, pero nunca cambiando su forma, un ejemplo de su estabilidad optima ( para una espiral logaritmica, rotacion y escalado son identicas). La linea del mundo de  este sistema de espacio-tiempo se dirige desde el apex  hacia el origen de la base del disco y es irreversible.
De todas formas, matematicamente existe el caso reciproco: otra linea del mundo  yendo en la direccion opuesta, en todo momento, produciendo juntas, una spindle form, con un infinitamente fino punto pinch (de torsion?) uniendolos, y conjuntamente, correspondiendo a un escenario reversible en el tiempo. Esto puede ser visto explicitamente en el plano complejo, como veremos. Esto es como Phi media entre atractores finitos e infinitos, y permite co-dimensionalidad (variaciones en escala y dimension) infinitas y procesos reversibles/irreversibles en su accion (todas herramientas matematicas para investigar comportamientos naturales, y mejor pensados como estructuras logicas autoconsistentes expresadas en simbolos algebraicos o formas geometricas - en este caso operadores de renormalizacion, sistemas hamiltonianos y eigen-funciones), como ya desarrollaremos.

El ciclo de realimentacion que describe a Phi es un operador aritmetico lineal, (como un interruptor binario: 0 o 1, prendido o apagado) representando la winding o numero de rotacion de la espiral inscripta, el cual es convencionalmente representado como un multiplo de 2pi. Esto es superpuesto con su razon de expansion; 1:1,618...la cual es geometrica (logaritmica) y por lo tanto no-lineal. Esto puede ser representado usando la espiral poligonal que preserva el circulo en medio-radianes (pi/2) en una manera reminiscente de la accion de i = sqrt(-1), el numero imaginario. (Ver mas abajo sobre el plano complejo). Note que la base logaritmica e, i y pi se hallan en la siguiente relacion: e **(i pi) = -1. El (lo?) lineal es reversible (y finito) mientras que el (lo?) no lineal no lo es (e infinito --- siendo numericamente irracional). Phi es, de hecho, el irracional mas dificil de aproximar con numeros racionales, haciendolo el ultimo toro KAM en colapsar antes del advenimiento, o borde del Caos.

Esta quasi-periodica geometria toroide de Phi es paradojicamente, la mas estable (bajo perturbacion), a pesar de tambien estar en el borde del Caos. Esto es reminiscente de no-linearidades damping (descargando?) disipacion en comportamiento de solitones. Los solitones son ondas viajeras persistentes que cambian efectos disipativos (de resonancia) resonantes? contra no linearidades inherentes, de forma tal que se cancelan mutuamente (una llama es un ejemplo simple).

Los toros KAM (Kolgomorov, Arnold, Moser) mismos son modelos geometricos que han sido usados para resolver problemas de muchos-cuerpos en fisica, como dinamica planetaria: ha sido sugerido que el sistema solar entero esta en este escenario de borde del Caos, como una entidad global espacio-temporal - permitiendo mientras tanto inestabilidades caoticas espacio-temporales locales, otra vez, conocidas como resonancias, las cuales podrian ser vistas como ajustes finos de la dinamica global (como los espacios orbitales entre los planetas, lunas y dentro de sistemas de anillos; o en la ejeccion periodica de asteroides de sus orbitas usuales.

Este sistema de interrupcion binario, unico de Phi, que como señalado es reminiscente de la accion de un operador eigen, o de reescalamiento o renormalizacion, es analogo a tirar una moneda, un proceso de chance, o estocastico, que permite una interpretacion dinamica/probabilistica. Estas matematicas y geometrias resultantes, son tambien el paradigma de la mecanica cuantica, sistemas dinamicos, y lo relativistico (pero con las super-posiciones adecuadas) o en otras palabras, las matematicas del azar o chance, para las ecuaciones lineales de probabilidad de Schroedinger del quantum, o causalidad de las arbitrariamente grandes velocidades y masas/energias expresadas por las transformaciones no-lineales de Lorentz de los mundos relativisticos. de todas formas, las chances entran en las ecuaciones de relatividad, dado que las transformaciones de Lorentz que Einstein uso para para enlazar espacio y tiempo en relaciones Pitagoricas conducen a puntos singulares, en donde el espacio-tiempo debe terminar. Una singularidad de espacio-tiempo puede ser vista como una infinidad de eventos sub-cuanticos, estocasticos, hiper-caoticos; mientras que una singularidad matematica puede ser vista como una infinidad de iteraciones de una cierta estructura logica, la cual se aproxima a la infinidad con velocidad arbitraria. Los limites de Big Bang y agujeros negros son las singularidades definitorias de nuestra existencia. La causalidad entra al mundo cuantico tambien solo en sus limites: cuando ocurre el famoso "colapso de la funcion de onda", y se hace una medicion (u ocurre interferencia, ya sea de este o de otros universos paralelos putativos), de el mundo de la escala clasica de sistemas dinamicos - donde Caos deterministico (chance y causalidad en sintesis) es la regla.

Fisicos han sealado que estos operadores estocasticos del tipo Phi son mecanismos super-estables (los mas resistentes a perturbaciones) por los cuales sistemas simulados pueden evolucionar creciente complejidad de estructura de informacion en el tiempo. Esta estabilidad parece ser debida a sus optimizados escalamientos geometricos de si mismos y comienzan a confirmar las ecuaciones involucrando a Phi como relevantes dentro del estudio de sistemas dinamicos clasicos - y muy posiblemente tambien dentro del cuerpo mayor de la fisica cuantica y relativistica. Este presencia aparece como la forma que mejor transciende la disipacion, y minimiza la energia: por lo tanto, fenomenos emergentes como solitones, funciones de onda, y curvaturas espacio-temporales - y todo lo que evoluciona de ellos.
 
 

Por lo tanto la dinamica de Phi es un parangon de telos, es una imagen de reflexividad, de su propio proceso autogenerativo transladado en escala, en el tiempo. Es un ciclo de realimentacion recursivo/invariante conformalmente simetrico actuando como una rudimentaria maquina de memoria autoreplicante (reitera su unica, optima relacion con, y entre, la Unidad y si mismo - renormalizacion arquetipica), que de alli en mas permite manifestacion en lo lineal y en lo no-lineal, a cualquier escala, y en cualquier dimension superior. Por lo tanto deberia epitomizar el principio de minima accion como su imperativo, porque esta estabilidad optima deberia inevitablemente transformarse en atractor para minimizar produccion de entropia/corrupcion de energia: consecuentemente, con el comportamiento dinamico de Phi, la degradacion de informacion es minimizada, mientras que la complejidad del sistema es maximizada.

Podemos confirmar estos axiomas empezando por notar que podemos usar el iterador cuadratico para demostrar no solo la naturaleza pervasiva de la operacion de Phi, sino tambien su relacion intrinseca con los sistemas dinamicos. Ya vemos que es  un sistema de retroalimentacion arquetipico que a su vez genera una espiral protofractal que es literalmente linear (unidimensional),en forma. esto es aparentemente paradojico porque para ser un fractal una forma ser de una dimension no-integral (no entera, entre dimensiones), de hecho. De todas formas, la no linearidad es encontrada en el escalamiento (cambio de escala)/rotacion de la espiral, que es un comportamiento de  ley de potencia logaritmica (autosimilar bajo transformacion). Todos los fractales tienen este invariancia de ley de potencia.

Su dual expansion lineal y no-lineal de la Unidad tambien es paradojica, pero el iterador:  X = X**2 + c  (la ecuacion de un circulo --- una seccion del cono de evolucion temporal de Phi) con c = -1 , produce lo que es conocido como el caso super-atractor. Aqui dos valores fijos son producidos en vez del unico normal, siendo estos 0 y -1.

Remarcablemente, incluso si alteramos valores para X[0] todavia derivamos los mismos resultados. Esto hace al ciclo tan resistente como es posible; 0 y -1 representan los puntos fijos repelentes para la ecuacion, la que a su vez genera una orbita super-atractiva, entre ellos. La orbita en si misma es estrictamente periodica pero del menor periodo dinamico posible (siendo este dos) y por lo tanto crucialmente, consume la menor energia para ser mantenida. (La oscilacion tambien es mas barata que la rotacion, y periodos mayores consumen mas energia.)

Esto es el por que la accion interruptora deterministica de Phi bajo iteracion infinita debe tambien tener, siguiendo a Boltzmann, una interpretacion termodinamica; donde (siguiendo a Roger Penrose): entropy = k log V  (con la cosntante de Boltzmann (k) como la Unidad y el volumen de el espacio de fases (V) como incrementandose, aritmetica y geometricamente).

Por tanto, la constante c = -1 representa una isla de perfecta estabilidad rodeada por un seething maelstrom de Caos. Resolviendo los pares de ecuaciones para el sistema (conocidos como  ciclos de dos pasos), se produce:  Ø = (1 + sqrt(5))/2  , la Proporcion Aurea.

Esto por lo tanto confirma a Phi como la entidad matematica en la cuspide misma del Caos. Esto es, considerando su super-estabilidad y naturaleza atractiva, un aparentemente remarcable resultado --- el cual ha sido confirmado por numerosos matematicos y fisicos en numerosos y diversos campos de investigacion.

Este punto es de la mas alta significancia matematica para renovar nuestro entendimiento de Phi en terminos  de sistemas dinamicos y de la inmanente accion de rotura de simetria de termodinamica, desde el cual estas son derivadas.

El Set de Cantor es simplemente la igual division de una linea en tres partes, con el tercio del medio removido, descediendo en escala hasta infinitamente muchos intervalos de longitud finita. Es la division de la Unidad en tres terminos, como opuesta a la division de la Unidad en dos terminos mediada por Phi. Subyace toda la dinamica Caotica, en concierto con la accion interruptora de Phi. Esto es porque tiene a la vez expansion binaria y terciaria --- y porque, tambien, contacta entre atractores finitos e infinitos.

Los sistemas Caoticos se comportan en una forma conocida como comportamiento ergodico,  entremezclando infinitas permutaciones. Esto puede ser una vez mas descripto como un operador binario Ø. Cuando examinamos un diagrama de Feigenbaum de sistemas doblando-periodo hacia Caos encontramos no solo que la Proporcion Aurea es un paradigma para todas las bifurcaciones en el (una bifurcacion es un evento de Periodo Dos, y Phi es el locus de comportamiento de Periodo Dos, ver abajo) --- sino que tambien, al borde del Caos, conocido como el Punto de Feigenbaum, el operador Phi produce un Set de Cantor infinito, pero crucialmente - con proporciones de Phi.

Este Set de Cantor de Phi es una singularidad matematica (ver arriba), analogo a una indecidible maquina de Turing. (Una abstraccion de una cadena de simbolos que expresa dinamica como una forma de retroalimentacion infinita de procesamiento de informacion computacional, reflexiva). Aqui en esta zona al borde del Caos, la entropia es minima comparada con la riqueza de informacion disponible; Ilya Prigogine describio comportamientos en esta region como "la minima produccion de entropia (minima perdida de energia), de sistemas disipativos lejanos al equilibrio", y puede ser vista como un tipico ejemplo del principio de minima accion, en operacion.

Las bandas de orden en el diagrama de Feigenbaum ocurren a una razon de escala fija (fixed scaling ratio), y corresponden exactamente a puntos fijos periodicos super-atractivos como los mencionados arriba. Las bifurcaciones, nuevamente, implicitamente contienen a Phi. De hecho, todas las varias constantes universales encontradas en el diagrama de Feigenbaum son derivadas de la operacion de reescalamiento deterministica de la Proporcion Aurea. Asi es como Phi esta presente en los sistemas dinamicos, como un operador universal binario de interrupcion (universal binary shift operator), o eigenfuncion primaria. Todas las constantes asi derivadas son eigenvalues (piense en resonancia y armonicos) de este operador mientras es contantemente reiterado (como en la naturaleza), ellas son propiedades dinamicas emergentes (pero no necesariamente predictibles) que frecuentemente representan complejidad creciente a medida que nos movemos del estado estatico, de equilibrio de trayectoria simple a la izquierda del diagrama.

El diagrama de Feigenbaum es tambien analogo al comportamiento de rotura de simetria del principio del Universo mientras iba perdiendo energia y simetria desde su estado inicial altamente simetrico, inestable, lejano al equilibrio. La diferencia critica es que tal rotura de energia representa perdida de energia, mientras que el diagrama de Feigenbaum describe la recuperacion de esta energia perdida - via el retorno a un estado mas simetrico, mas energetico,  con menos equilibrio (y caotico, sensitivamente dependiente).

El equipo de cosmologistas padre/hijo Andre y Dmitri Linde han propuesto que las condiciones iniciales putativas Caoticas del Universo inevitablemente generan un Multiverso fractal e infinito.

Es curioso notar que tanto Feigenbaum como Fibonacci (originador, mas de un milenio atras, de la serie 0,1,1,2,3,5,8..., de la cual la Proporcion Aurea puede ser derivada) estaban describiendo dinamicas de poblacion (la de conejos, en el ultimo caso).

El atractor extraño de Rossler (esencialmente una pintura arquetipica de un sistema Caotico en espacio de fases de 4 dimensiones, como una seccion a traves de un toro KAM) es usado para modelar sets autocataliticos, autoorganizados, lejanos al equilibrio, tal como el famoso set de reacciones quimicas de Belousov Zhabotinski. La autocatalisis es la clave para los procesos de la vida y sus condiciones iniciales y de evolucion porque ocurre al borde del Caos, donde existe la maxima adaptabilidad computacional para el sistema, y donde una morfologia emergentepuede ser mejor autoorganizada y mantenida en el tiempo, a pesar de estar inmersa en constante flujo de su entorno. Las condiciones para que tal homeostasis ocurra son que para las reacciones/entidades persistan, reactivos (energia/comida potencial o actual (de baja entropia)) debe ser constantemente añadida desde ese entorno, y los desperdicios (alta entropia) retornados a el - si suena familiar, deberia: organismos unicelulares, sus colonias, sus parientes multicelulares, grupos de organismos, ecosistemas, nuestras civuilizaciones humanas enteras - y la biosfera planetaria misma muestran versiones identicas a escala de este comportamiento.

Note que Phi espiralea en el modelo de automata celular. El atractor es un Set de Cantor en 4D, en el tiempo --- y es otro medio de representar Phi en espacio de fases en el Punto de Feigenbaum, en el borde del Caos.

El plano Complejo puede ser homologado al mapeamiento de una esfera sobre un plano y es el resultado de la geometria curva de Riemann usada para modelar comportamiento relativistico y cuantico. Un cambio dimensional esta aqui implicito, ya que para cualquier triangulo inscripto en una superficie curva, sus angulos internos sumaran mas de 180 grados. Moverse de una dimension espacial a otra requiere de este tipo de operacion. La teorizacion de dimensiones superiores se cree simplifican las leyes fisicas hasta el punto en que una teoria unificada de todo uniendo lo relativo y lo cuantico parece ahora alcanzable - esas son las dimensiones superiores a que nos referimos al comienzo de este articulo.

Los numeros complejos tienen una componente real y una imaginaria, de forma tal de poder expresar coordenadas planares a dimensiones superiores, inferiores, (o entre ellas) en una forma mas completa.(Los numeros imaginarios, cuando elevados al cuadrado, pueden aun dar negativos.) si nosotros entonces colocamos dos cuencas de atraccion (imagine un pendulo con dos imanes) en este plano, podriamos quizas simular el comportamiento de Phi tanto a escalas cuanticas como relativisticas. Sabemos que la Proporcion Aurea actua como una orbita super-atractiva entre dos puntos fijos repelentes, de modo que si corremos iteraciones de la ecuacion del circulo, con c = -1 (-1 siendo i, el numero imaginario, al cuadrado), producimos un Set de Julia, un fractal en el plano complejo, para la Proporcion Aurea.

El Set de Mandelbrot es la enciclopedia de todos los Sets de Julia; ha sido llamado la entidad geometrica mas compleja jamas vista, es paradojico en que es una entidad finita con un bordeinfinito, y tambien explicitamente confirma a Phi como de importancia critica en su morfologia.

Nuevamente, con c = -1, vemos a Phi como el origen super-atractivo del Disco Periodo Dos (Period Two Disk) del Set de Mandelbrot.

Geometricamente, estamos mirando a Sets con dos cuencas de atraccion: el set infinito "fugado" (escapee)  (fondo) (ground) y el set finito "prisionero" (figura). Iterando la ecuacionda uno de estos dos resultados - puntos graficados en la tierra del plano complejo en uno de estos sets, hasta escalas infinitas, y revelando infinitamente cambiantes detalles en sus bordes. Los bordes no son solo infinitos, e infinitamente complejos --- sino que tambien contienen copias autosimilares, ligeramente mutadas del set global. este borde, por lo tanto, es el sitio de las inestabilidades entre los dos sets de figura y fondo (ground), el cual a su vez produce nuevas estructuras; es el locus de creatividad cuando mirado ya sea como una entidad estatica o como un sistema dinamico, y es una metafora apta para el comportamiento de los hallados en la naturaleza misma.

El Disco Periodo Dos mismo, (centrado en el set Phi Julia) actua como un oscilador geometrico en equilibrio dinamico, entre la retroalimentacion positiva del set infinito de escape, y la retroalimentacion negativa del set finito prisionero.

El Corazon/Cardioide es Periodo Uno, representando equilibrio y stasis, significando nuevamente que el periodo dinamico (que evoluciona en el tiempo) mas bajo cerca de la stasis es Periodo Dos. Los otros brotes son mas chicos, teniendo periodos mayores, menos probabilidad, y nuevamente, consumiendo mas energia para mantener.

Es posible que la complementariedad cuantica (dualidad onda particula) e incertidumbre (entre posicion/momento y energia/tiempo) sean artefactos de un equilibrio dinamico analogo (situado en el borde entre lo finito y lo infinito), que ha sido perturbado. Por ejemplo, entre el atractor finito de la evolucion de periodo dos de la funcion de onda de la amplitud de probabilidad para una particula, y el atractor infinito del campo de probabilidad en el cual esta existe, en terminos de complementariedad.

Para incertidumbre, cuando  existe infinito conocimiento de la posicion de  una particula - se tendrainformacion finita (cero) acerca de su momento (incidentalmente, infinito es el reciproco matematico de cero). esto es ahora aceptado como una propiedad inherente al mundo cuantico, y no meramente un artefacto basado en un observador. La luz se comporta como una particula o como una onda dependiendo enteramente en como la perturbemos (observemos). Quizas este mundo cuanticosolo nos parece ser paradojico y anomalo porque estamos constantemente viendolo ser perturbado desde un estado de fondo (ground) ideal (minima energia) por sus fluctuaciones inherentes; por cada estado metaestable, siempre parece haber un escenario aun mas estable, y de ahi fenomenos tales como el efecto cuantico de tunel a estados de menor energia (como dictaria el principio de minima accion).

Las teorias de Cuerdas y Membranas estan basadas en el principio de minima accion dado su elegancia y belleza, y expresan tanto particulas de materia (fermiones) como particulas de energia/fuerza (bosones) en dimensiones superiores (y a condiciones de energia cosmologicas iniciales - reproducidas a su tamaño de la escala/energia de Planck de 10**-33 cm, a causa de la incertidumbre de Heisemberg en esta minima posible escala), como rotaciones, resonancias y armonicos de entidades vibrantes que son a la vez materia/energia y espacio/tiempo. El mundo cuantico y el relativistico son entonces unidos por estas entidades; cuyos armonicos son ahora vistos como analogos directos de los solitones (ondas viajeras persistentes), que a escalas clasicas son solo encontrados en el borde del Caos.

Lo implicado aqui es que subiendo en escala desde escalas de Planck, el colapso cuantico de la funcion de onda es analogo, por escalamiento, a las irreversibilidades clasicas no-lineales, dado que las dos requieren de la disrupcion de un sistema desde un equilibrio dinamico, incrementando asi sus entropias. El colapso de la funcion de onda puede entonces ser, en cierto sentido, un precursor cuantico de la bifurcacion en la escala clasica,  yendo eventualmente al borde del Caos.esto puede ser el porque al tratar de encontrar Caos completo en la escala cuantica no esta dando ningun resultado, la direccion causal de la no-linearidad problamente deberia ser revertida: los armonicos solitones de las Cuerdas/Membranas llevan a incertidumbre/complementariedad cuanticas, las cuales a su vez llevan a inestabilidades clasicas y a Caos, (y por tanto a la creacionde estructuras de informacion emergentes, autoorganizadas, de masa/energia en su borde), y no de la forma opuesta.

Cada incremento en escala muestra patrones emergentes de masa/energia, que pese a ser superficial, externamente no relacionados, presentan los mismos metapatrones subyacentes - lo cual es porque un incremento en escala es tambien, evidentemente,  un proceso de compactificacion de dimensiones que rompe simetrias y que minimiza energia.

Si miramos de cerca al set Julia de Phi, podemos medir  1:1/Ø**2  en sus proporciones; exactamente la accion reciproca, cuadratica de Phi. El plano Complejo en si puede ser mapeado por un sistema analogo a fuerzas equipotenciales electromagneticas/gravitacionales y a lineas de campo. Cuando describimos el comportamiento de punto fijo del set Julia de Phi, vemos dos lineas de campo arribando al punto de torsion (como en el ejemplo del cono/spindle) para 1/Ø, representando un doblamiento de angulo desde 1/3 a 2/3 de 2pi. ahora, doblar un angulo en el plano Complejo es equivalente a elevar al cuadrado en el plano Euclideano, y a una oscilacion del operador de interrupcion binario. Esta accion deberia asi confirmar el comportamiento de Phi como operador, aplicable tanto a los dominios cuanticos como relativistas (lineales y no-lineales) como, dentro de las escalas clasicas, al interior de  los sistemas dinamicos. (Note que el espacio-tiempo en si es fractal: curvo y no-lineal. Por ejemplo, la ley de inversa del cuadrado de fuerza gravitacional  versus distancia es un fractal simple, y por lo tanto una ley de potencia autosimilar. La gravedad es curvatura del espacio-tiempo - causada por masa/energia - sus manifolds son siempre atravesadosen geodesicas de minima entropia, lineas de menor distancia; de nuevo, de la misma forma en que el agua fluye hacia los puntos mas bajos en un valle, minimizando asi su energia potencial gravitatoria.).

Volviendo al Set de Mandelbrot Julia de Phi, vemos que los puntos fijos estan en el borde entre el set finito prisionero y el set infinito de escape, de hecho, en el borde del Caos. La Proporcion Aurea es, por lo tanto, intrinsecamente dinamica, su accion una de perpetua oscilacion reciproca, exacta y unicamente replicando la dinamica del circulo unitario. El set de Julia de Phi, centrado en el origen de la dinamica de Periodo Dos, es el unico set que actua de esa manera.

Esto, de nuevo, significa que el comportamiento de Phi  parece operar a todas las escalas y en cualquier dimension, y confirma que cuando infinitamente iterado, la orbita atractora matematicamente mas estable para obtener una singularidad matematica. Los puntos fijos en si confirman la orbita entre los atractores finito (0) e infinito (-1). El atractor finito aqui es la orbita de periodo dos, analogo a un grafico de y = sin x . El atractor infinito es la misma orbita que el grafico correspondiente a la reciproca: y=sin(1/x) . Notablemente, estos graficos de simple movimiento armonico pueden ser usados para describir la curvatura del espacio-tiempo al aproximarse a la velocidad de la luz (relativo a un observador externo, es decir: el resto del Universo, el tiempo se detiene, uno se comprime a tamaño finito, mientras una dimension se compactifica, y gana masa infinita - a menos que uno no tuviera masa ya desde el principio, como un foton), o al aproximarse (o partir) a/de una singularidad del espacio-tiempo como un agujero negro o el Big Bang (cuando el tiempo tambien se detiene) - que son intrigantemente y no por coincidencia, reversos temporales uno del otro.

La cuadratura del circulo tiene por tanto una expresion en el plano Complejo, que confirma la accion profundamente simetrica y dinamica de la Proporcion Aurea, y potencial aplicacion matematica tanto en fisica cuantica (lineal) como relativista (no lineal), los dos limites arriba y abajo de la escala clasica (que combina ambos comportamientos).

L
Se cree que lo muy chico y lo muy grande , lo cuantico y lo relativistico, pueden ser unidos via teoria de Cuerdas/Membranas, juntas produciendo una formulacion unificada de gravedad cuantica.

Esta teoria es esencialmente geometrica (especificamente topologica), siempre tratando con superficies minimas, multidimensiones, y basadas en principios de minimizacion de energia.

El mayor tema saliente en teoria de Cuerdas/Membranas es como las dimensiones se compactifican (ya que solo experimentamos cuatro, tres espaciales y una temporal): como rompen simetria y se bifurcan, minimizando sus energias paralas masas estables de las particulas elementales y las constantes fisicas dentro de nuestro espacio-tiempo cuatridimensional.

Especulando, uno podria arriesgar que el borde del Caos podria ser el proceso mismo global, dinamico, del  Universo mismo. Posibles ejemplos (algunos estaticos) podrian ser el hallar Phi en las proporciones  de la distribucion vascular, organizacion estructural,  y compactificacion espacial de organisms (todo lo cual hallamos), las simetrias de base cinco de la molecula de DNA (lo dicho), u otras permutaciones fisicas de los numeros de Fibonacci y sus complementos, los numeros de Lucas, o comportamiento autoorganizado de ley de potencias - en procesos dinamicos.

Los numeros de Fibonacci aparecen en varios analisis de la masa en reposo de las particulas elementales. Tambien en relaciones orbitales en el sistema solar (como el espacio principal entre los anillos de Saturno). Criticalidad autoorganizada tambien es revelada por el soliton de Jupiter (mejor conocido como la Gran Mancha Roja), o por el comportamiento dinamico del Sol, o por las espectrografias de emissiones de rayos-X de loa agujeros negros devorando materia de sus discos de acrecion. Quizas la no-localidad, las caracteristicas globales de la region del borde del Caos, dan una pista a una respuesta envolviendo reversibilidad temporal cuantica para la famosa paradoja EPR - relacionada a particulas elementales aparentemente en contacto mutuo sin demora de tiempo, y  pese a estar separadas por distancias cosmologicas?

Quizas ahora tengamos una buena razon de por que. Quizas estamos mirando fundamentalmente a varios armonicos y resonancias de las Cuerdas/Membranas (como con toros KAM), que muestran la mayor estabilidad autoorganizada por la minima energia, al borde del Caos. Lascomplejas relaciones entre todos los toros (anidados) debido a las simetrias rotas de nuestro Universo minimizador de energia, en no equilibrio darian las varias resonancias, armonicos, (y constantes?) de nuestro mundo a cualquier escala. Las mismas reglas se aplicarian a Protoplasma, Equilibrio Puntuado, Politica, el Mecanismo de Precio, etc. Universales.

Quizas nuestro Universo ha evolucionado desde un espacio de infinita posibilidad via sus roturas de simetria, minimizando energia, desdoblandose desde el estado altamente energetico, de baja entropia, supersimetrico, pero inestable?

Si comparamos el Set de Mandelbrot con el diagrama de Feigenbaum podemos ver como el Periodo Uno Cardioide del primero corresponde exactamente con la trayectoria de equilibrio simple (with the single, equilibrium trajectory) del segundo. El Disco Periodo Dos con Phi como su centro super-atractivo, exactamente la primer bifurcacion --- confirmando a Phi, geometricamente, como el paradigma para bifurcacion deterministica. Todas las subsecuentes bandas de orden en el ultimo (que ocurren a una razon fija de escala (fixed scaling ratio) derivada de la accion de Phi), encajan precisamente con los micro Sets de Mandelbrot a lo largo del eje horizontal, de numeros reales del Set.

Esta evidencia geometrica define a Phi, entonces, como el optimo operador oscilante que media entre sistemas ordenados, en equilibrio, y desordenados, en desequilibrio. Permite una orbita oscilante acceder a las infinitamente fecundas morfologias de chance del Caos, recapitularlas de nuevo en su orbita causal super-estable: y permite por lo tanto crecimiento de sistemas y morfologia. Es el paradigma para evolucion de sistemas: para la emergencia de complejidades globales, causales desde simples chances locales - para evolucion de abajo-arriba (bottom-up) basado en jerarquias de creciente sofisticacion, ellas mismas involucradas en continua retroalimentacion, catastrofes y estabilidades transitorias. Para el comportamiento de Phi, entonces, chance y causalidad, Caos y Cosmos (desorden y orden), estan en tension de un equilibrio dinamico; un equilibrio que crea loinesperado y lo emergente, con lo cual cada jerarquia de simetria rota, da morfologias transientes a menudo de creciente complejidad.
 

LaProporcion Aurea entonces representa orden deterministico global, como un sistema iterado de doblamiento de periodo (bifurcante/rompedor de simetria), pero en el tiempo, tambien permite Caos local,estocastico, caos que puede, cuando el sistema esta lo suficientemente lejos del equilibrio, tambien crear (como un fractal, copia "fantasma" autosimilar de la condicion original - el mismo no- equilibrado Big Bang.

Dado que el pasaje de uno a otro esta gobernado por la segunda ley de termodinamica, responsable por los procesos irreversibles (mas alla de mundo cuantico reversible y lineal), esto tambienconvierte al comportamiento de Phi en el operador optimo tanto para reversibilidad lineal como para irreversibilidad no lineal. Para que un sistema alcance maxima complejidad al aumentar la entropia (algo progresivamente mas dificil al subir en escala desde el mundo cuantico reversible y lineal), la forma optima de evitar cada vez mas resonancias (interferencias) e inestabilidades, es preservar una trayectoria Media de minima entropia. La Proporcion Aurea, en efecto, permite un fractal infinito (el Set de Cantor mencionado anteriormente) usar la creatividad del Caos, para uso del orden.

Varias simulaciones de automatas celulares (matrices heuristicas de puntos) pueden tambien confirmar la accion evolucionadora de mejoramiento estructural en los sistemas con Phi, al punto en que investigadores ven este comportamiento de interruptor binario (binary-switching) como un blanco inevitable para la seleccion natural. Stuart Kaufmann, del Santa Fe Institute, describiendo la idea de que la complejidad explica la evolucion como una relacion entre seleccion y autoorganizacion (incluyendo el orden en el genoma y la emergencia de la vida misma), cita arreglos binarios mostrando aparente comportamiento de periodo dos como aquellos que permiten "anchos boulevards de posibilidades, mas que callejones traseros de improbabilidad termodinamica".

Kaufmann ubica las regiones de maxima complejidad, islas de puntos estables rodeadas de
otros cambiando caoticamente ("centros congelados" (frozen cores), en su terminologia), en la region del borde. Este comportamiento, usado para (certeramente) predecir genotipos para organismos de diferente complejidad, resulta cuando sus arreglos estan unidos de tal forma que cada punto responde al input de otros dos, pero no mas ni menos - (menos produce stasis, mas creciente caos). este comportamiento analogo a periodo dos, en lo que el llama sus Redes Booleanas NK, muestra a Phi en accion nuevamente: esta vez en silicio, aparte del en vivo de la realidad. Su trabajo se extiende a ecosistemas enteros, e incluye los reinos de paisajes de aptitud y temple simulados, donde  estrategias robustas, minimizadoras de energia mejoradoras de aptitud) revelan relaciones profundas entre ecologia y economia.
Otras areas como fisica de plasma y de disipacion cuantica, sistemas dinamicos, dimension fractal y simulaciones de ecosistemas, todas citan a Phi como un atractor invariante con alguno o todos de los comportamientos mencionados.

El fisico Per Bak modela simulaciones en donde observa doblamientos reciprocos, comportamientos de ley de potencias (reciprocal squaring, power-law behaviour). Esta ley esta en todos lados en la naturaleza: avalanchas de arena, intensidad de terremotos por frecuencia, patrones de disparo de neuronas durante conciencia, bolsa de valores, mecanica celeste, agujeros negros, etc. (como vemos, complejidad parece subyacer a casi todo, ya sea vivo o inerte, natural, metabolico, o cultural, y a toda escala). esta ley tambien es autosimilar, y parece razonable sospechar la accion de Phi en ella.
 

Chris Langton metaforiza al orden como a un solido (como hielo), desorden como a un gas (vapor), y cree que una forma liquida (agua) de complejidad ocupa una region de transicion de fase entre ambas. Halla que comportamientos en esa region son los mas complejos, los mas estables bajo perturbacion, muestran comportamientos no-locales (globales), y son capaces de computacion universal - con entidades emergiendo que por sus cualidades han sido llamadas "vida artificial".
Langton cita la zona de transicion de fase como conteniendo la mayor complejidad por la entropia generada. Esto es porque los automatas celulares usados se comportan entonces como maquinas de Turing universales indecidibles, como singularidades computacionales, exactamente replicando la dinamica del Punto de Feigenbaum mencionado anteriormente. estamos ahi entonces en terreno de la teoria de numeros del problema NP y del Omega de Chaitin. Phi se presenta aqui como un oscilador optimo en equilibrio dinamico entre decremento de entropia (trasmision de informacion) e incremento de entropia (almacenamiento de informacion), sosteniendo maxima complejidad en una computacion, en el tiempo.
En terminos de tirar monedas (interruptor binario estocastico 50/50), Omega parece ser analogo a la dinamica de Phi en el punto de Feigenbaum. Los problemas NP son intratables, no computables, indecidibles, y capaces de parar una maquina de Turing, lo cual lleva al Teorema de Godel.
Teoria de numeros tambien confirma a Phi  como en la cuspide misma de caos, pero tambien lo cuantico, via la funcion zeta de Riemann en disipacion cuantica.

Esencialmente, estos resultados apuntan la inherente limitacion de que para ser autoconsistente, las matematicas deben admitir lo random -que no todas las afirmaciones improbadas son probadamente improbables ("todos los cretenses son mentirosos", decia Epimenides, un cretense). a veces una afirmacion es demasiado compleja y reflexiva para ser probada - uno cae presa de la tautologia y la paradoja.

Phi reside en la zona optima de transicion: entre la causalidad de las ramas de bifurcacion, y la chance de los puntos de bifurcacion misma; entre el resultado de la tirada de moneda, y la tirada inicial misma. En terminos del Set de Julia de Phi, su orbita super-atractiva (global) es optimamente estable porque media entre esos dos puntos fijos repelentes optimamente inestables (local).

Un flujo entre orden y caos, sin mucho de ningun extremo, es la clave para cualquier acto de adaptatividad evolucionaria y/o homeostasis.
La conciencia misma puede ser una forma optima de procesamiento de informacion adaptativa. en un paso mas, se teoriza que puede estar basada en el switching cuantico de electrones individuales en switches como los atenuadores de luces (dimmer "switches") localizados como puntos CA en microtubulos, estructuras filamentosas que a veces se describen como el sistema nervioso de celulas individuales. Tales simulaciones CA muestran transientes extendidos del tipo de borde del Caos, glider, y otros comportamientos complejos tipicos de simulaciones de automatas celulares (especificamente, Wolfram: Tipo Cuatro quasi-periodico/Conway: Juego de la Vida).

Phi matematicamente describe el comportamiento de la naturaleza en al menos tres grandes modelos idealizados:
Primero, la estabilidad final de los toros KAM quasi-periodicos, justo antes del colapso en el caos.
segundo, los comportamientos universales, Set de Cantor de Phi en el punto de Feigenbaum y relaciones constantes de escala del doblamiento de periodo del diagrama de Feigenbaum.
Y tercero, los comportamientos de automatas celulares, mostrando estructuras transitorias extendidas quasi-periodicas de periodo dos, en la zona liquida de transicion de fase.

El Set de Mandelbrot es el icono geometrico que une a los tres en forma lapidaria, pero las ecuaciones que lo generan cuentan la misma historia.

La Proporcion Aurea ha surgido entre otros ambitos en...
Pentagramas y pentagonos Piatagoricos, analisis geometricos de la Gran Piramide y del Partenon, Euclides y sus geometrias, Fibonacci, alberti y sus iglesas Fiorentinas, Piero della Francesca, Kepler y razones en las orbitas planetarias Platonicas, Cook y la filotaxia de plantas, Hambridge y su simetria dinamica, Le Corbusier y sus esquemas para para reemplazar los sistemas imperial y metrico con su Modular, Cartier-Bresson en fotografia  diseño.
Mas alla de estatica y estado, mas como dinamica y proceso: como tension, como paradoja, como una unidad dinamica de opuestos (finito e infinito), fusionando lo lineal con lo no-lineal, lo ordenado con lo random - y causalidad con chance, para crear lo emergente e inesperado.

Este es el (ana)Logos de Heraclito de Efeso, o el Tao de Lao Tsu.. Estos conceptos parecen ser parte de un arquetipo global universal, en el sentido Jungiano, intuido separadamente por otras culturas con anterioridad.

Mas pertinentemente, la hipotesis de Gaia de James Lovelock (donde la biosfera del planeta es autoorganizada), es paradigma para una verdadera homeostasis global basada en Complejidad, donde todo el planeta minimiza su produccion de entropia al borde del Caos (fijando las proporciones gaseosas a los niveles de no equilibrio adecuados a la vida, por ejemplo), por la accion analoga a automata celular de la biosfera.
Tenemos un deber para con las generaciones futuras de aprender de conceptos Gaia-escos; de preservar a la humanidad, sus culturas, y el ecosistema global (y sus respectivas diversidades), y de vivir por la maxima de la sostenibilidad: "No hacer el mundo un lugar peor para nuestros hijos, ya sea por nuestras actuales acciones o inacciones".
La Proporcion Aurea es tambien la ultima metafora para sostenibilidad.
 

Baste decir, maxima Complejidad es hallada via criticalidad autoorganizada al borde del Caos, epitomizado por la Proporcion Aurea, como la manifestacion geometrica emergente del principio de minima accion: por lo tanto su accion espacio/temporal completa es analoga a la creacion misma.

Nota

La espiral consecuente tendra, por lo tanto, una longitud infinita y sera una descripcion geometrica de una ley de potencias, de invariancia de escalamiento, y de autosimilaridad. La espiral de Phi (como la ilustrada) tiene la ecuacion k = -(pi / 2) log phi, donde k es la cotangente de la tangente/radio angulo para la espiral, que es constante, y Phi como 0.618...

Volver al Articulo

Nota

Volver al Articulo