Números Complejos

En este tema abordaremos los números complejos. Para aquellos quienes no están familiarizados con ellos, a continuación presentamos un esquema: los números complejos son un conjunto de números que no sólo incluyen números reales, sino también están compuestos por una parte denominada "i". La suma y multiplicación son definidos en este apartado de tal manera que i^2 = -1.

Entonces, aunque –1 no tenga raíz cuadrada dentro del contexto de números reales, si la tiene dentro del contexto de números complejos. Un detalle que seguido nos confunde es "qué significa i". Hay varias maneras de definirlo, todas iguales.

Una forma conveniente para definir números complejos es haciendo parejas (a, b) de números reales. La suma es definida por la regla (a, b) +(c, d) = (a+c, b+d); y la multiplicación se define por la extraña regla de:

(a, b) (c, d) = (ac-bd, ad+bc)

Con ésta definición, un número complejo de la forma (a, 0), es idéntico en todas sus propiedades aritméticas al número real "a", y es por lo tanto una forma diferente de representar el mismo concepto abstracto de el número real "a". Es correcto pensar que un número complejo (a, 0) y el número real "a" sean "lo mismo", y con esto, un número complejo está compuesto por una parte real con otras cosas. (Es exactamente lo mismo que cuando aprendemos primero acerca de los números racionales, fracciones). Una fracción es una pareja de enteros (a, b) comúnmente escrito como a/b.

Hay reglas para sumarlos: a/b + c/d= (ad+bc)/(bd), y para multiplicarlos: (a/b) (c/d) = (ac)/(bd). Con estas reglas, una fracción de la forma a/1 se porta idéntico al integro "a", entonces debemos considerar el número racional a/1 y el integro "a" para ser uno mismo, y con esto, los números racionales son un conjunto de objetos que contienen los íntegros a lo largo con otro).

Habiendo definido los números complejos como una pareja de números reales, definimos a "i" para ser pareja (0, 1). Si aplicas la regla de multiplicación, encontrarás que (0, 1) (0, 1) = (-1,0). En otras palabras i^2= -1

Finalmente, ¿de donde vino la regla anterior de multiplicación?

Vino del siguiente razonamiento:

Nosotros queremos tener en nuestro conjunto que un objeto llamado i cuyo cuadrado es -1. Nosotros también queremos tener los números reales usuales en nuestro juego. Queremos también una manera para sumar y multiplicar elementos en nuestro conjunto, como i y los números reales usuales nosotros necesitamos también tener todas las sumas y productos que involucran i y los números reales; en otras palabras, para cada par (a, b) de números reales, necesita ser un del elemento correspondientes a+bi en nuestro conjunto. Por eso, a cada par de números reales (a, b) le corresponde un elemento en nuestro conjunto, ¿por qué nosotros no permitimos que nuestro conjunto sea el conjunto de todos los pares de números reales. Cuál debe ser nuestra regla para la multiplicación ? Queremos la suma y multiplicación para satisfacer las propiedades: conmutativa, distributiva, y asociativa. Eso significa (a + bi) + (c +di) debe igualar (a+c) + (b+d)i, y (a+bi)(c+di) debe igualar ac + bc i + ad i + bd i^2 = (ac-bd) + (bc+ad)i.

Este razonamiento dice que que hay sólo una forma para definir suma y multiplicación y seguir teniendo una esperanza de ellos satisfaciendo las propiedades que queremos. Eso es por qué uno hace la definición anterior. Entonces, habiendo hecho esa definición, podemos demostrar que esta definición tiene todas las propiedades que nosotros queremos. Ése es un ejercicio separado.