¿Cómo se puede demostrar que los números reales en verdad existen?

Una sería en la exacta misma manera en la que demostramos que las fracciones existen.

Vamos a mirar un modo en la que las fracciones existen. Uno por supuesto, que algo que conoces ya; no necesitas una expresión matemática para probarlo. Pero el punto de hacerte pasar por todo esto es que exactamente el mismo argumento puede ser usado para mostrar que el número imaginario existe. Teniéndote convencido que el argumento es legitimo viéndolo trabajar en un contexto con el cual estas familiarizado, tu deberías tener mas voluntad en aceptar en el misterioso contexto de los números imaginarios.

Argumento de que las fracciones existen.

Supón que las únicas cosas que conoces son los números naturales (1,2,3,etc), y tú tienes que mostrar que tres medios existe. En otras palabras, necesitas probar que existe un número en el cual cuando lo duplicas, te da tres y puedes argumentar con lo siguiente:

Acertaste, no existe tal cosa con el sistema de números naturales.

Como sea, hay un sistema diferente de números en el cual esa cosa existe: el sistema de números racionales. Los "números" en este sistema diferente de números, si hay fracciones: completamente diferentes objetivos que con los números naturales (ellos no van a representar medidas al contrario ellos van a representar las relaciones de las medidas), pero esto no los hace menos reales.

¿Es que las fracciones en verdad existen? Sí.

¿En verdad forman parte de un sistema de números? Sí.

Con este sistema de números habría un número que cuando lo duplicaras te diera tres. Sí

Entonces "tres medios sí existe".

Validez del argumento.

Para ver que la tercera respuesta existe (en el último párrafo del argumento) en verdad hay "si", vamos a ver a las preguntas una por una.

¿Qué si las fracciones en verdad existen? Sí; estas son sólo pares de los números naturales. (vamos sólo a hablar de fracciones positivas para hacer la discusión lo mas simple que se pueda y evitar tener que preocuparnos de las cosas como el denominador sea cero). Pares de números naturales ciertamente existen, entonces las fracciones si existen. Nosotros escribimos estas parejas escribiendo el primer número encima del segundo número: 1/3

Es que las fracciones existen en verdad a un sistema de números. Sí.

Un sistema de números es sólo una colección de objetos en el cual: Hay una definición de la cual significa que para dos objetos sean iguales. Hay una regla para como sumar dos objetos juntos y una regla para como multiplicar dos objetos juntos (substracción y división pueden ser deducibles de estas previendo que todos los objetos han correspondido a negativos y algunos objetos tienen correspondientes recíprocos, y estas reglas para sumar y multiplicar satisfacen a la familia de propiedades de aritmética, como la conmutabilidad (el orden no importa), asociatividad (en una suma de tres o más términos no importa sí dos los sumas primero y al revisar con otros productos), y distributiva (a(b+c)=ab+ac)

Hablando estrictamente, cualquier colección de estas reglas satisfacen a estas propiedades es por definición un sistema de números. (Estrictamente hablando, algunos de estas propiedades necesitan que comienzan como más precisión, pero los estatutos son exactos son suficientes para nuestros propósitos)

Estas propiedades son satisfechas todas por las fracciones. Tendremos una definición de cuando dos fracciones son consideradas iguales:

a/b = c/d si y sólo si a*d = b*c

Tenemos una regla para sumar dos fracciones:

a/b+c/d= (a*d+b*c)/ (b*d)

Y una regla para multiplicar dos fracciones:

(a/b) (c/d) = (a*c)/(b*d)

Nosotros podemos checar que estas reglas en verdad satisfacen la familia de propiedades en aritmética.

Entonces, las fracciones forman un sistema de números.

Con este sistema de números, habría un número que expresara en el cual cuando lo duplicas te diera tres. Si es la fracción 3/2. Cuando lo duplicas tu obtendrás la fracción 3/1 o sea 3.

Estrictamente hablando 3/1 es algo diferente al numero natural 3. Después de todo es un par de números naturales 3 y 1 (representando el radio "3 a 1 "), ninguno es un número natural.

Como sea las fracciones de la forma x/1 se comportan idénticamente que la manera que los números ordinarios naturales. Se suman y se multiplican exactamente en la misma manera que los números naturales:

a/1 +b/1 =(a+b)/1

(a/1) (b/1) =(a*b)/1

Él "/1 " sólo es mas por costumbre ni siquiera deberíamos ponerlo.

Desde que los números son solo conceptos abstractos de todas maneras y desde que los números naturales "a" actúan igual a las fracciones de la forma a/1 actúan en las operaciones de igual forma hasta donde el comportamiento aritmético sabe, son perfectamente legitimo el punto de vista de dos representaciones del mismo concepto.

Con esto en la mente nosotros podemos considerar que la fracción 3/1 y el número natural 3 podrían y son la misma cosa. Esto nos lleva a decir que cuando decimos que 3/2 y lo doblas te da 3.

Esto completa el argumento que los números "imaginarios existen" es casi palabra por palabra idénticamente ser el argumento anterior. Entonces estar convencidos que el argumento de arriba es valido deberíamos ser capaces de aceptar el argumento de que los números imaginarios si existen,

Comprobación de que los números imaginarios existen.

Este argumento es patrón después de encima del argumento de que las fracciones existen; tú probablemente encontraras una ayuda el abrir otra ventana en tu cabeza y ver el dos lado por lado.

La edición es la existencia de la letra "i" desde que los números imaginarios son solo múltiplos de i. En otras palabras queremos ver que existen algunos números que cuando les sacas su cuadrado te da -1. Aquí está tal argumento.

Claro esa cosa no existe con ninguna de las cuatro familias de sistemas de números (los números naturales, los números enteros, los números racionales o los reales)

Como sea hay un diferente sistema en el cual tal cosa si existe: el sistema de números complejos. Los números en este diferente sistema van a ser totalmente diferentes de las familias de los números reales (estos van a tener pares de números reales, pero eso no los hace menos reales).

¿Es que los números reales en verdad existen? Sí .

¿Es que ellos en verdad forman un sistema de números? Sí.

¿Existe un número que cuando sacas su cuadrado te de menos uno? Sí.

Entonces i, sí existe.

Comprobación.

Para ver que estas afirmaciones son correctas (en el ultimo párrafo) son realmente "sí" vamos a ver igualmente que en las fracciones una por una.

Es que los números complejos en realidad existen. Sí; nosotros sólo tenemos que definir a los números complejos a ser una pareja de números reales. Números reales ciertamente existen, entonces pares de estos existen también.

Es que los números complejos en verdad son un sistema de números. Sí recuerda que cualquier colección de números en las cuales: Hay una definición de que los números son y cuando dos objetos son iguales. Hay una regla para como sumar dos objetos. Hay una regla de cómo multiplicarlos los dos números y estas reglas obedecen a la familia de reglas aritméticas asociativa y distributiva.

Es por definición un sistema de números.

Todas estas reglas están satisfechas por los números complejos.

Tenemos una definición de cuando dos números complejos son considerados iguales: estas son iguales si y sólo si son el mismo par de números complejos.

Tenemos una regla para sumar números complejos:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

y tenemos una regla para la multiplicación de los números complejos.

(a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc)

La regla de la multiplicación puede parecer muy extraña pero no tiene nada de malo con eso. Uno todavía puede verificar que esta regla en verdad satisface a la familia de propiedades de números aritméticos.

Entonces los números complejos forman un sistema de números.

Sin este sistema de números habría un número que indicara que el cuadrado de este fuera -1. Sí es el par (0, 1). Cuando tu cuadrado que estas usando es regla de la multiplicación.

(0,1)*(0,1)= [ (0)*(0) - (1) (1) , (0)(1) + (1)(0)]=(-1,0)

Estrictamente hablando los números complejos (-1, 0) es diferente al número real -1. Después de todo es un par de números reales -1 y 0. Como sea los números complejos de la forma (a, 0) se comportan de igual manera que los números ordinarios, estos se suman y se multiplican de la misma manera que los números ordinarios reales.

Desde que los números reales son solo conceptos de todos modos y desde que los números complejos de la forma (a, 0) son completamente iguales hasta donde el mundo de la aritmética sabe es perfecta y legítimamente el punto de vista que estas dos representaciones del mismo concepto.

Con esto en mente nosotros podemos considerar que los números complejos (-1,0) y el numero real -1 a ser la misma cosa (esto puede ser difícil de deglutir pero recuerda que no es diferente el decir que la fracción 3/1 y el numero real 3 es lo mismo algo así es lo que hacemos, te puede ayudar el releer el párrafo de las fracciones para ver que son tan familiares los dos casos.

Esto nos lleva a decir que (0, 1) cuando lo elevas al cuadrado te da -1. Entonces i existe es sólo el par de estos números dentro de las reglas de adición y multiplicación.