Números complejos

Esta prueba usa números complejos. Para aquéllos que son poco familiar con ellos,

nosotros damos un boceto breve aquí. Los números complejos son un conjunto de

objetos que no sólo incluyen los números reales familiares pero también un objeto

adicional llamó "i". Suma y multiplicación se definen en este gran conjunto de esta

manera: i^2 = -1. Aunque -1 no tienen ninguna raíz cuadrada dentro del contexto de

números reales, si tiene una raíz cuadrada dentro del contexto de los números complejos.

Una cosa que a menudo confunde a las personas es la pregunta ¿"Qué es este objeto

extraño i"? hay diferentes maneras de definirlo, todos esencialmente equivalente.

Una manera conveniente es definir números complejos para ser pares (a,b) de

números reales. La suma es definida por la regla (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d), y la

multiplicación es definida por la extraña regla (a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc).

Con esta definición, un número complejo de la forma (a,0) es idéntico en todas estas

propiedades de la aritmética al número real a, y por consiguiente es una manera

diferente de representar el mismo concepto abstracto que el número real a hace.

Entonces es legítimo pensar en el número complejo (a,0) y el número real a son

"la misma cosa", y con esta comprensión, los números complejos son un conjunto

de objetos que contienen los números reales junto con otras cosas.

(Ésta es exactamente la misma cosa que uno hace cuando aprende sobre los números

racionales (fracciones). Una fracción son un par de enteros (a,b), normalmente escrito

como a/b. hay reglas para la suma: a/b + el c/d = (ad+bc)/(bd) y para la multiplicación:

(a/b)(c/d) = (ac)/(bd). Con estas reglas, una fracción de la forma a/1 se comporta

idénticamente al entero a, por eso nosotros consideramos el número a/1 racional y el

entero a como "la misma cosa", y con esta comprensión, los números racionales son un

conjunto de objetos que contienen los enteros junto con otras cosas).

Habiendo definido números complejos como pares de números reales, nosotros definimos

i como el par (0,1). Si usted aplica la regla anterior de multiplicación, usted encuentra

que (0,1)(0,1) = (-1,0) ( recuerde que, es la misma cosa como el número -1 real). En otras

palabras, i^2 = -1.

¿Finalmente, de dónde vino la regla anterior para la multiplicación ?

Vino del razonamiento siguiente:

Nosotros queremos tener en nuestro conjunto que un objeto llamado i cuyo cuadrado es -1.

Nosotros también queremos tener los números reales usuales en nuestro juego. Nosotros

queremos una manera para agregar y multiplicar elementos en nuestro conjunto, como i y los

números reales usuales nosotros necesitamos también tener todas las sumas y productos que

involucran i y los números reales; en otras palabras, para cada par (a,b) de números reales,

allí necesita ser un a+bi del elemento correspondientes en nuestro conjunto.

Por eso, a cada par de números reales (a,b) le corresponde un elemento en nuestro conjunto,

¿por qué nosotros no permitimos nuestro conjunto sea el conjunto de todos los pares de números

reales. Ahora, cuál debe ser nuestra regla para la multiplicación ? Nosotros queremos suma y

multiplicación para satisfacer las propiedades familiares conmutativa, distributiva, y asociativa.

Eso significa (a + el bi) + (c +di) debe igualar(a+c) + (b+d)i, y (a+bi)(c+di) debe igualar

ac + bci + adi + bdi^2 = (ac-bd) + (bc+ad)i.

Este razonamiento dice que que hay sólo una posible manera para definir suma y multiplicación

y todavía tener alguna esperanza en absoluto de ellos satisfaciendo las propiedades que nosotros

queremos. Eso es por qué uno hace la definición anteriormente. Entonces, habiendo hecho esa

definición, uno demuestra que esta definición tiene todas las propiedades de hecho que nosotros

queremos. Ése es un ejercicio separado.