La historia de las ecuaciones de grado superior

La búsqueda de la generalidad en matemáticas empezó en el siglo XVI. Una forma de generalidad fue la que Vieta hizo posible al mostrar cómo manejar toda una clase de ecuaciones por medio de coeficientes literales. También se persiguió la generalidad investigando las ecuaciones de grado superior al segundo.

Jerónimo Cardano, la combinación mas lograda de matemático y malviviente, fue el primero de la notable serie de personajes que se dedicaron a investigar las ecuaciones de grado superior al segundo. Nació en Pavía, Italia, en 1501, de padres de mala fama. Su progenitor, por cierto, era abogado, medico y algo matemático. Enfermizo durante la primera mitad de su vida, no recibió educación de la que valga la pena hablar. A pesar de estos obstáculos, estudió medicina y llego a ser tan celebre como medico, que fue invitado a tratar a personas prominentes de muchos países de Europa. En varias ocasiones fue profesor de medicina y también dio clases de matemáticas en varias universidades italianas.

Era agresivo, altanero, antipático y hasta vengativo; parecía como si quisiera hacer pagar al mundo por sus privaciones infantiles. Toda vez que lo acosaban diversas dolencias que le impedían disfrutar de la vida se dedico al juego como cosa cotidiana durante muchos años. La experiencia así ganada lo ayudó indudablemente a escribir su obra 'De los juegos de azar', ahora famosa, que estudia las probabilidades que se dan en los diferentes lances. Incluso da consejos sobre cómo hacer trampa, recurso que de seguro también cosechó de la experiencia.

Legítimo producto de su época, Cardano recopilo y publico muchas leyendas, falsas doctrinas filosóficas y astrológicas, remedios populares, procedimientos para comunicarse con los espíritus y otras supersticiones. Él mismo creía en los espíritus y en la astrología. Calculó horóscopos, muchos de los cuales resultaron ser falsos [¿podría haber sido de otra manera?]. Hacia el final de su vida fue encarcelado por haber formulado el horóscopo de Cristo, pero pronto fue perdonado y pensionado por el Papa, y vivió pacíficamente hasta su muerte, acaecida en 1576. En su autobiografía, 'El libro de mi vida', dice que a pesar de sus años turbulentos está agradecido de muchas cosas, pues tiene un nieto, riqueza, fama, sabiduría, amigos, fe en Dios y aún le quedan 15 dientes.

Parte de la rufianeria de Cardano tiene que ver con el tema que estamos tratando. Los matemáticos del siglo XVI se habían propuesto resolver ecuaciones superiores, por ejemplo, ecuaciones de tercer grado, como:

x³ - 6x = 8

Entre ellos estuvo otro hombre famoso, Nicolás de Brescia, mas conocido como Tartaglia [el Tartamudo] (1499-1557), a quien volveremos a encontrarnos ocasionalmente en otros contextos. Tartaglia había descubierto un método para resolver ecuaciones de tercer grado, y Cardano deseaba publicarlo en el libro de álgebra que estaba escribiendo, el cual apareció mas tarde con el titulo de 'Ars Magna', el primer gran libro de álgebra de los tiempos modernos. Después de negarse a divulgar su método, Tartaglia termino por acceder, pero con la condición de que Cardano guardara el secreto. Este, sin embargo, deseoso de que su libro tuviese la mayor importancia posible, publicó el método dando a Tartaglia el debido crédito por haberlo creado. En este libro, publicado en 1545, el mundo matemático aprendió a resolver ecuaciones de tercer grado. En la misma obra Cardano publico el método para resolver ecuaciones de cuarto grado, inventado por uno de sus discípulos, Ludovico Ferrari (1522-1565). A pesar de que no se usaban todavía coeficientes generales, quedo claro que se podían resolver todas las ecuaciones de tercero y cuarto grados. En otras palabras, las soluciones se podían expresar en función de los coeficientes por medio de las operaciones ordinarias del álgebra: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división y la extracción de raíces (aunque no forzosamente raíces cuadradas), mas o menos igual que como la ecuación de las cuadráticas expresa las soluciones de la ecuación como la de segundo grado en términos de los coeficientes a, b y c.

Y así se impuso el interés de los matemáticos por la generalidad. Habiéndose resuelto las ecuaciones generales de primero, segundo, tercero y cuarto grados, ¿Podría hacerse lo mismo con las de quinto, sexto y demás grados superiores? Parecía ser cierto que estas ecuaciones también tendrían que poder resolverse. Durante 300 años muchos matemáticos trabajaron sobre este problema básico sin hacer casi ningún progreso. Y entonces un matemático noruego, Niels Henrik Abel (1802-1829), cuando apenas tenia 22 años de edad, demostró que las ecuaciones de quinto grado no se podían resolver por los procedimientos del álgebra. Otro joven, Evaristo Galois (1811-1832), quien en dos ocasiones fue incapaz de pasar los exámenes de admision de la Escuela Politécnica y que curso solo un año de la Escuela Normal, demostró que ninguna de las ecuaciones generales de grado superior al cuarto se puede resolver por procedimientos algebraicos. En la carta que escribió, la víspera del duelo en que perdió la vida, expuso sus ideas y demostró como desarrollar una teoría nueva y general sobre la solución de ecuaciones. Sus ideas imprimieron al álgebra un giro inesperado. De instrumento y serie de técnicas para la transformación de expresiones en otras mas manejables y útiles, el álgebra termino siendo cuerpo de conocimientos bello e interesante en si mismo. Es lamentable que no podamos dedicarnos a estudiar las ideas de Galois, o la teoría de Galois, que es como se conoce su aportación a las matemáticas, pues hay otras cosas fundamentales que deben aprenderse primero.

Esta breve relación de la búsqueda de generalidad en la solución de ecuaciones la dimos aquí porque ilustra muchos de los caracteres importantes de las matemáticas. Uno de ellos es la persistencia, diriase la obstinación, de los matemáticos por espacio de cientos de años. Otro de ellos es que la búsqueda de generalidad trae consigo adelantos importantes, aunque el propósito inicial haya sido el de la mera generalidad. Hoy en día la solución de ecuaciones de grado superior es asunto principalmente practico, y a Galois debemos las ideas mas reveladoras sobre el tema. En esta historia de la teoría de las ecuaciones encontramos también un buen ejemplo de la manera como los matemáticos descubren los problemas sobre los cuales se ponen a trabajar, problemas de gran significación que resultan de otros que tuvieron orígenes prácticos y humildes, como es el caso de las ecuaciones simples con incógnitas.