Instituto Oriente

Matemáticas III, Examen Unidad I

Esta es una solución que contiene preguntas hechas en los exámenes de los grupos C, D y E.

  1. Encuentra la ecuación del círculo: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, que pasa por los puntos (-1, 1), (3, 5), (5, -3). Plantea un sistema de 3x3 y resuélvelo por medio del procedo de eliminación gaussiana, llegando a un sistema escalonado reducido equivalente. (30 pts.)

    2. Solución:

    Se substituye cada punto en la ecuación general del círculo, que origina tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: 

    Þ

    Al resolverlas utilizando las operaciones fundamentales de renglón, tenemos:

    La solución de este sistema es entonces:

    Que al substituirse en la ecuación del círculo obtenemos:

    En su forma simplificada: 5x2 + 5y2 - 32x - 8y - 34 = 0

  2. Encuentra el determinante. (30 pts.)

Solución:

Para obtener este determinante aplicamos el método de Menores, ya que es una matriz de 4x4 y no existe otro método:

Seleccionamos la columna o renglón que contenga el mayor número de ceros para que no tengamos que calcular tantos cofactores, así que seleccionamos la cuarta columna:

Determinante = C1,4 + C2,4 + C3,4 + C4,4 = 0 + 0 + 0 + (-1/4)(-1)4+4 * M4,4

Obteniendo el menor de la posición 4, 4 por el método de Sarrus:

 

= (-40 - 192 + 200) - (-200 + 60 - 128) = 236

 

Obtenemos el determinante: (-1/4)(-1)4+4 * M4,4 = (- 1/4)(+1)(236) = - 59

  1. Utiliza el determinante para hallar el área del triángulo con vértices (- 2, 4), (1, 5), (3, - 2). Gráfica el triángulo. (20 pts.)

    2. Solución:

    Se plantea el determinante que calcula el área de este triángulo:

  2. En un experimento, los animales deben someterse a una dieta rigurosa. Cada animal consume, entre otros nutrientes, 20 gramos de proteínas y 6 gramos de carbohidratos. El investigador a cargo sólo dispone de dos mezclas alimentarias con las siguientes composiciones:

 

Proteínas (%)

Carbohidratos (%)

Mezcla A

10

6

Mezcla B

20

2

¿Cuántos gramos de cada mezcla debe utilizar para obtener la dieta correcta de cada animal? Plantea un sistema de ecuaciones lineales que modele este problema y resuélvelo por el método numérico de tu elección. (20 pts.)

Solución:

Entonces siendo x la cantidad de la mezcla A necesita ponerle 80 grs. y siendo y la cantidad de la mezcla B necesita ponerla entonces 60 grs. para cumplir las proporciones iniciales.

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