Avanzar hacia la apropiación permanente de los procedimientos para operar con expresiones algebraicas y sus aplicaciones en la solución de ecuaciones y problemas.

  Continuar con el aprendizaje del álgebra mediante el estudio de la solución numérica de los sistemas de ecuaciones lineales, de los números complejos y sus operaciones y de los métodos para resolver ecuaciones de grado superior a dos.

  Profundizar en el estudio de las funciones a través del análisis de las gráficas de funciones polinomiales, racionales y circulares, sus comportamientos y aplicaciones elementales.

  Enriquecer el estudio de la trigonometría y la geometría analítica.

 La deducción de las ecuaciones cartesianas de la recta, la circunferencia y la parábola y sus aplicaciones a la solución de problemas de corte euclidiano y de lugares geométricos.

  El conocimiento de sistemas de coordenadas no rectangulares, en particular de las coordenadas polares en el plano.

 El método de eliminaciones sucesivas: solución de sistemas escalonados; sistemas equivalentes y reducción de un sistema a otro escalonado equivalente.

 Matriz de coeficientes y matriz aumentada de un sistema, operaciones elementales con los renglones de una matriz y método de Gauss-Jordan.

 Regla de Cramer y determinantes; comparación del método de Gauss-Jordan y la regla de Cramer (número de multiplicaciones necesarias para realizar cada método).

 Se avanzará en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales mediante la introducción de los sistemas nxn y su solución por los métodos de eliminaciones sucesivas de Gauss-Jordán y la regla de Cramer. En este momento, las matrices y determinantes serán vistas como una forma de organizar y hacer más cómodos los cálculos, sin intentar todavía operar con estos objetos o tratar exhaustivamente sus propiedades.

 Sabrán plantear y resolver problemas que conduzcan a sistemas de ecuaciones lineales.

 Utilizará los métodos de eliminaciones sucesivas y Gauss-Jordan para resolver y decidir, según el caso, si un sistema de ecuaciones lineales tiene una, infinitas o ninguna solución.

 Compararán el método de Gauss-Jordán con la regla de Cramer contando el número de multiplicaciones necesarias para aplicar cada método.

 Nociones básicas: parte real e imaginaria, conjugado, representación geométrica, valor absoluto y argumento de un número complejo.

 Operaciones con números complejos. Suma y resta; multiplicación y división. Significado geométrico de la suma y la resta; de la multiplicación por un real positivo, por un real negativo y por ± i.

 Potencias y raíces de un número complejo.

 El estudio de los números complejos servirá para enriquecer la noción de número, al mismo tiempo que proporciona a los alumnos numerosas oportunidades de practicar los procedimientos básicos del álgebra y avanzar hacia su adquisición permanente.

 Podrán sumar, restar, multiplicar, dividir y obtener la raíz cuadrada de números complejos.

 Interpretarán geométricamente la suma y la resta, así como el conjugado, la multiplicación por un escalar y por i de números complejos.

 Expresarán y operarán números complejos en forma trigonométrica.

 Ejemplos de bicuadráticas y otras ecuaciones de grado superior a dos que todavía pueden resolverse por métodos algebraicos.

 Teorema del residuo y del factor y su recíproco: búsqueda de raíces enteras y fraccionarias de un polinomio.

 Métodos aproximados de solución: bisección, secantes y de Newton.

 Comparación de los métodos anteriores.

 Se buscará que los alumnos adquieran una visión más realista y flexible de las ecuaciones algebraicas y sus métodos de solución, mediante la introducción, entre otros temas, del cálculo aproximado de raíces. El profesor tendrá la oportunidad de platicar con ellos sobre la historia de las fórmulas para encontrar las raíces de ecuaciones cúbicas y cuárticas, así como de la inexistencia de métodos generales para resolver ecuaciones de grado igual o superior a cinco.

 Conocerán y resolverán ejemplos de ecuaciones bicuadráticas y otras ecuaciones de grado superior a dos cuyas raíces todavía pueden encontrarse por medios algebraicos.

 Utilizarán, en ejemplos sencillos, los criterios para localizar las raíces enteras y racionales de una ecuación y aplicarán el teorema del factor y su recíproco para reducir su grado y resolverla.

 Aplicarán y compararán entre sí distintos métodos para calcular aproximadamente las raíces de un número o un polinomio: bisección, secante, Newton…

 Revisión de la noción de función, enfatizando la idea de una cantidad en términos de otra; ejemplos para ilustrar las nociones de dominio y rango de una función, de variación inversa, conjunta y combinada y ejemplos de la existencia de relaciones que no son funciones.

 Estudio del comportamiento local y en infinito de polinomios y funciones racionales e introducción de la notación de límites para indicar el comportamiento indicado. En particular el comportamiento de la familia y = xⁿ para -1£ x£ 1; y de polinomios y funciones racionales para x muy grande en valor absoluto y alrededor de los ceros en el denominador (asíntotas y discontinuidades removibles).

 Operaciones con gráficas; por ejemplo: dadas las gráficas de y = f(x) y y = g(x), construir las gráficas de f(x) + b; af(x); af(x) + b; f(x + b); f(ax); ½ f(x)½ ; f(| x | ); o bien f(x) + g(x); f(x) – g(x); f(x)g(x); 1/f(x); f(x) / g(x), en particular, estudio de las gráficas de las funciones trigonométricas y = aSen(bx + c) + d y y = aCos(bx + c) + d y de la influencia de los parámetros a, b, c, d en dichas gráficas.

 Ejemplos de aplicaciones de las funciones trigonométricas a la modelación de fenómenos periódicos de carácter ondulatorio (ondas de radio, luz, corriente alterna, vibraciones etc.)

 Esta unidad tiene como objetivo principal avanzar en el conocimiento de las funciones elementales y la comprensión de las relaciones entre la expresión algebraica de una función, su comportamiento y el aspecto y rasgos principales de su gráfica.

 Examinar una expresión en dos variables para predecir si define una función y determinar su dominio.

 Comprender y utilizar la terminología: y varía inversamente con x; y varía conjuntamente con x y w; y varía en forma combinada con x, w y z.

 Estudiar, en casos sencillos, el comportamiento local y en infinito de polinomios y funciones racionales, encontrar los intervalos donde la función es positiva o negativa y utilizar la información anterior para bosquejar su gráfica.

 Utilizar la notación de límites para indicar el comportamiento observado al estudiar localmente o en infinito los valores de un polinomio o de una función racional.

 Dadas las gráficas de una o dos funciones, bosquejar la gráfica de las funciones que se obtienen al sumarles o multiplicarlas por una constante, al considerar su valor absoluto o su recíproco; al sumarlas, restarlas, multiplicarlas o dividirlas.

 Determinar transformaciones en los valores y en la gráfica de una función al introducir cambios en los valores de la variable independiente, como sumar y restar constantes, multiplicar por distintos valores.

 Ecuación de la recta dados dos puntos por los que pasa; dada su pendiente y un punto por el que pasa.

 Ecuación general y formas especiales de la ecuación de la recta. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

 Solución analítica de problemas de corte euclidiano, por ejemplo: encontrar la distancia de un punto a una recta; el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo, etc.

 Se buscará que los alumnos se inicien en el estudio de la geometría analítica, sus métodos y procedimientos por medio de la deducción de la ecuación cartesiana de la línea recta, las condiciones de paralelismo y perpendicularidad y sus aplicaciones a la solución de problemas de corte euclidiano y de lugares geométricos.

 Encontrará la ecuación de una recta dados dos puntos por los que pasa, o bien la pendiente y un punto por el que pasa.

 Reconocerá y sabrá aplicar el significado geométrico de los parámetros que aparecen en las formas especiales de la ecuación de la recta.

 Sabrá encontrar paralelas y perpendiculares a una recta dada.

 Aplicará sus conocimientos sobre la línea recta a la solución de problemas de corte euclidiano.

 Distancia del origen a un punto del plano cartesiano; distancia entre dos puntos.

 Ecuación de la circunferencia y aplicaciones.

 Deducción de la ecuación ordinaria de la circunferencia; con centro en el origen; con centro en cualquier punto utilizando, en particular, la idea de traslación de ejes.

 Ecuación general de la circunferencia; ejercicios de reducción de la forma general a la ordinaria.

 Definición de la parábola usando la directriz y el foco. Su trazado por puntos: con compás y escuadras, doblando papel; y continuos utilizando un cordel.

 Ecuación ordinaria de la parábola; con vértice en el origen; con vértice en cualquier punto; ecuación general de la parábola y ejercicios de reducción de la forma general a la forma ordinaria.

 Solución analítica de problemas de corte euclidiano y de lugares geométricos.

 Se buscará que los alumnos enriquezcan su estudio de la geometría analítica, por medio de la deducción de las ecuaciones cartesianas de la circunferencia y la parábola y sus aplicaciones a la solución de problemas de corte euclidiano y de lugares geométricos.

 Desarrollarán habilidades para pasar de la definición de un lugar geométrico a una ecuación que lo representa.

 Incorporarán, a partir de la ecuación de la circunferencia, la traslación de ejes como una técnica útil en los procesos de generalización y simplificación de expresiones analíticas.

 Incorporarán el método de completar cuadrados como la técnica para encontrar los parámetros de la circunferencia y la parábola.

 Ejemplos de distintos sistemas de coordenadas: polares en el plano; cilíndricas y esféricas en el espacio.

 Trazado de curvas en coordenadas polares, por ejemplo:

  - Espirales: r = kq ,

  - Rosas: r = aCos kq , r = aSen kq , para k par e impar

  - Otras: r = q Sen kq , r = a + bSen kq …

 Relaciones entre coordenadas polares y rectangulares; paso de una ecuación polar a cartesiana y viceversa.

 Ecuación polar de la recta y la circunferencia.

 El objetivo principal de esta unidad es profundizar en la representación gráfica de una expresión algebraica mediante el uso de marcos de referencia distintos de los rectangulares; coordenadas polares en el plano y esféricas y cilíndricas en el espacio.

 Podrá escoger el sistema de coordenadas que le sea más útil para representar gráficamente una expresión algebraica.

 Podrá pasar de una ecuación dada en forma polar a otra que esté en forma cartesiana y viceversa.

 Desarrollará habilidades para analizar, interpretar y describir las relaciones existentes entre conjuntos de puntos en el plano y las expresiones algebraicas que los definen.