En este curso, el último del grupo de conocimientos generales en le Area de Matemáticas, se culmina la integración de muchos de los contenidos abordados desde el primer semestre y se establecen simultáneamente las bases para los cursos de introducción a las especialidades que, en el siguiente año escolar, habrán de iniciar los estudiantes.

Así, en este curso se intercalan algunos aspectos de Matemática discreta y continua, comenzando con el uso de las matrices como instrumentos útiles para modelar diversas situaciones donde interviene el concepto de sistema, y como generalización de algunos tópicos relativos a la solución de sistemas de ecuaciones lineales y su relación con los determinantes; se prosigue este manejo de arreglos numéricos con la forma de organizar conjuntos de datos en relación con formas posibles de combinación de los mismos y, en otro nivel, mediante el ajuste de curvas, al tratamiento gráfico de grupos de datos que siguen un patrón reconocible de comportamiento, este estudio constituye un preámbulo para la probabilidad y estadística que requiere, en el nivel de bachillerato, de una comprensión cabal del concepto de función. Este se profundiza en el actual curso con el estudio de dos importantes funciones matemáticas, de amplia utilidad para la modelación de fenómenos de crecimiento o decrecimiento en diversos ámbitos; las funciones exponencial y logarítmica. El trabajo sobre funciones desarrollado hasta aquí, aunado al estudio de otras curvas importantes - cónicas - a través del método analítico y la introducción de procedimientos de aproximación para la resolución de problemas de variación mediante la combinación de técnicas geométricas y algebraicas, constituyen antecedentes indispensables para el estudio del Cálculo Diferencial e Integral.

CONTENIDOS GENERALES DE LA ASIGNATURA

1. Matrices y modelos matemáticos.
2. Técnicas de conteo y teorema del binomio.
3. Ajuste de curvas.
4. Funciones exponenciales y logarítmicas.
5. Secciones cónicas.
6. Ecuaciones cartesianas de la elipse y la hipérbola.
7. Areas, volúmenes y métodos infinitesimales.

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA JERARQUIZADOS.

Las actividades en clase deberán propiciar la solución de problemas, buscando que los conocimientos matemáticos adquieran sentido para los alumnos, y se desarrolle su capacidad de trabajo personal, lo mismo que sus aptitudes para la investigación, búsqueda de conjeturas y la comunicación de su pensamiento, tanto en forma oral como escrita. Habrá también numerosas oportunidades de que practiquen el razonamiento deductivo y utilicen los distintos medios de expresión matemática: tablas, gráficas y lenguaje simbólico del álgebra así como la calculadora científica y la microcomputadora.

Durante el cuarto semestre el estudio de las matemáticas deberá permitir la apropiación permanente de los procedimientos para operar con expresiones algebraicas y sus aplicaciones en la solución de ecuaciones y problemas.

Avanzar en el conocimiento de las funciones elementales por medio del estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas, sus gráficas, comportamiento, propiedades algebraicas y aplicaciones.

Enriquecer las ideas de modelo matemático y función a partir de la introducción de las matrices como una forma de describir ciertas situaciones y operar con ellas, así como de las técnicas elementales de ajuste de curvas.

Iniciarse en los métodos de la combinatoria y sus aplicaciones al desarrollo del binomio de Newton, a la solución de problemas de arreglos, permutaciones y combinaciones y el uso, en casos sencillos, de la fórmula clásica de la probabilidad.

Profundizar en la comprensión de las relaciones entre álgebra y geometría y de los métodos de la geometría analítica, a través de:

1. El estudio geométrico de las secciones cónicas, la deducción de sus ecuaciones y el conocimiento de sus aplicaciones.
2. La exploración informal de los métodos infinitesimales a través del cálculo de áreas, volúmenes y otras aplicaciones sencillas de las series y sucesiones infinitas.

UNIDAD I: MATRICES Y MODELOS MATEMÁTICOS. (10 HORAS)

Los arreglos rectangulares de números (matrices) como modelos de algunas situaciones: matrices de transición, la matriz insumo-producción de Leontief, matrices para el estudio del desarrollo de una población estratificada; de dos poblaciones en competencia, o en la relación preador-presa, etc.

Introducción a las operaciones con matrices: suma y resta, multiplicación por un escalar y producto de dos matrices.

La matriz identidad y la inversa de una matriz, el método de Gauss-Jordan para invertir una matriz.

Objetivo particular: Se buscará enriquecer la idea de modelo matemático a través de ejemplos que muestren la utilidad de las matrices para describir diversos fenómenos y explorar su evolución. La práctica de los procedimientos para operar con matrices permanecerá ligada al tratamiento de los ejemplos, sin que su adquisición permanente sea todavía un objetivo exigible.

Durante el desarrollo de esta unidad, los alumnos:

Conocerán numerosas aplicaciones de las matrices.

Practicarán las operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.

Estarán en contacto con la idea de inversa de una matriz y utilizarán el método de Gauss-Jordan para calcularla.

Enfatizar que las matrices proveen formas convenientes de organizar datos en forma tabular y que, como objetos matemáticos, pueden ser operados; destacar el carácter no conmutativo de la multiplicación de matrices considerando que es la primera ocasión en que el estudiante encuentra un caso así. Mostrar a través de ejemplos que las matrices constituyen una herramienta matemática útil en Ciencias de la Computación, Estadística, Economía etc.; resaltar la importancia del trabajo de Wassily Leontief en economía, en este siglo; describir sucintamente su trabajo e ilustrarlo en casos simplificados. Comentar la relación entre matrices y vectores al introducir las operaciones básicas de renglón y columna en matrices.

UNIDAD II: TÉCNICAS DE CONTEO Y TEOREMA DEL BINOMIO. (10 HORAS)

Potencias sucesivas de un binomio, presentación del triángulo de Pascal.

Principio fundamental del conteo y aplicaciones a la solución de problemas de arreglos y permutaciones (uso de diagramas de árbol). Combinaciones y coeficientes binomiales.

Aplicaciones sencillas a la probabilidad, en particular, ejemplos de fenómenos que siguen una ley binomial.

Objetivo particular: Se procurará que los alumnos se acostumbren gradualmente a las técnicas de la combinatoria y sus aplicaciones a la solución de problemas de conteo y, en casos sencillos, a la probabilidad, enfatizando sobre todo el desarrollo del pensamiento combinatorio y el uso de representaciones intuitivas, sin insistir desde un principio en la memorización de fórmulas.

Al finalizar esta unidad, los alumnos:

Reconocerán que el número de combinaciones está dado por los coeficientes binomiales y, por lo tanto, por los elementos del triángulo de Pascal.

Harán uso de los diagramas de Venn, de árbol, rectangulares y de otras representaciones intuitivas como auxiliares en la solución de problemas de conteo.

Aplicarán el principio fundamental del conteo a la solución de problemas muy diversos, incluidos problemas de arreglos y permutaciones.

Conocerán el triángulo de Pascal y lo utilizarán para desarrollar expresiones de la forma (a+b)ⁿ, con n entero positivo.

Conocerán la fórmula clásica de la probabilidad y la aplicarán, junto con los conocimientos anteriores para calcular probabilidades en algunos casos sencillos, en particular, en situaciones que siguen una ley binomial.

Promover la organización sistemática del trabajo y análisis de casos mediante el uso de diagramas de árbol. Introducir el principio fundamental del conteo al iniciar un estudio más formal del álgebra combinatoria; comenzar por su simplicidad, con las permutaciones y utilizar dibujos de casillas en las ordenaciones. Advertir sobre la sinonimia en los términos: arreglo, variación, ordenación, coordinación. Revisar propiedades de los números combinatorios antes de utilizar los coeficientes binomiales. Comentar que la combinatoria ha suscitado la curiosidad del hombre desde la más remota antigüedad debido a su interés práctico; referir que el matemático hindú Bhaskara, en el siglo XII, planteó la utilidad de la combinatoria en diversos campos, y que Blaise Pascal dio inicio al estudio de la combinatoria moderna con el análisis del triángulo de Tartaglia y su relación con los coeficientes binomiales.

UNIDAD III: AJUSTE DE CURVAS. (10 HORAS)

Revisión a través de ejemplos, de las distintas formas de resumir y presentar una lista de datos, tablas y gráficas de frecuencias, medidas de tendencia central y dispersión.

Listas de datos bivariados, formas de presentación (diagramas de dispersión y tablas de contingencia); correlación, la recta mediana-mediana para ajustar datos bivariados, error promedio absoluto en la recta mediana-mediana.

Error cuadrático promedio, el método de mínimos cuadrados y sus aplicaciones al ajuste de curvas, en particular, la recta de mínimos cuadrados.

Objetivo Particular: A través de ejemplos cuidadosamente escogidos, se procurará que los alumnos revisen las formas usuales de presentar y resumir la información contenida en una lista de datos, adquieran una visión más realista de las funciones como descripción de ciertos fenómenos y tengan la oportunidad de estar en contacto con algunas técnicas elementales de ajuste de curvas.

Al finalizar esta unidad, los alumnos:

Podrán presentar y resumir la información contenida en una lista de datos y comprender, en particular, el significado de cantidades como el promedio y la desviación estándar.

Conocerán los diagramas de dispersión y otras formas de presentar una lista de datos bivariados y, por medio de ejemplos, tendrán un primer acercamiento intuitivo a la noción de correlación lineal.

Obtendrán la recta Mediana-mediana y calcularán el error promedio absoluto que aparece al utilizar esta recta para ajustar una lista de datos bivariados.

Conocerán la noción de error cuadrático promedio y utilizarán el método de mínimos cuadrados para encontrar la recta que mejor ajusta una lista de datos bivariados.

Precisar la diferencia entre el significado de datos discretos y continuos. Iniciar el estudio mediante la introducción de situaciones cercanas al estudiante (calificaciones de grupos, estatura y peso, etc.) Resaltar la relación entre las medidas de tendencia central y precisar los casos en que la aplicación de cada una de éstas resulta más útil. Contrastar la información que proporciona la organización de datos con la obtenida gráficamente mediante histogramas y observar el comportamiento de las medidas de tendencia central. Destacar la utilidad de las medidas de dispersión mediante ejemplos atractivos y sencillos para el estudiante (v. y gr. analizar distribución de ingresos en países desarrollados y en países subdesarrollados).

Advertir sobre la relación que debe existir entre las variables para aplicar el método de mínimos cuadrados. Solicitar a los estudiantes representen gráficamente los problemas, a fin de apreciar visualmente cuál es el tipo de tendencia que mejor se ajusta a los datos observados. Destacar que la técnica de los mínimos cuadrados tiene la particularidad de que la recta obtenida con este procedimiento, es la única que reúne la condición de que la suma de los cuadrados de las desviaciones de los datos reales respecto a los datos teóricos es el mínimo posible. Resaltar el hecho de que este resultado teórico o tendencia permite la predicción de la magnitud que alcanzará el fenómeno en el futuro o bien se puede utilizar para analizar el comportamiento en el pasado.

UNIDAD IV: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. (15 HORAS)

Progresiones aritméticas y geométricas. Diferencia y razón común, término general y suma de progresiones aritméticas y geométricas.

Aplicaciones de las progresiones geométricas, en particular, estudio de fenómenos que crecen a tasa constante y problemas de interés compuesto y rentas. Ejemplos para comparar el crecimiento geométrico o exponencial con el aritmético o lineal.

Otros ejemplos de progresiones: la suma de los primeros números cuadrados, cubos etc.

Funciones exponenciales y logarítmicas. Gráficas, comportamientos y propiedades algebraicas de funciones de la forma y = a^x; con 0 < a < 1 y a > 1.

La función logarítmica como inversa de la función exponencial. Gráfica y propiedades algebraicas.

Logaritmos en base 10 y naturales. Uso de las calculadoras y ejemplos de sus aplicaciones.

La función exponencial como modelo de distintas situaciones, crecimiento exponencial, decaimiento radioactivo, interés compuesto continuo, etc.

Objetivo Particular: Es estudio de las progresiones aritméticas y geométricas proporcionará un primer acercamiento a las ideas relacionadas con el tratamiento de las series y sucesiones, y al análisis de fenómenos que crecen lineal o exponencialmente y la comparación entre estas dos formas de crecimiento. Este conocimiento se profundizará con el análisis de las gráficas, del comportamiento y propiedades algebraicas de las funciones exponenciales y logarítmicas, y sus aplicaciones en la solución de problemas.

Al finalizar esta unidad, los alumnos serán capaces de:

Encontrar y calcular la diferencia común, el término general y la suma de progresiones aritméticas y geométricas.

Estudiar el comportamiento de fenómenos que crecen a tasa constante.

Comparar el crecimiento lineal o aritmético con el exponencial o geométrico.

Bosquejar las gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas y describir su comportamiento y propiedades algebraicas.

Conocer numerosos ejemplos de la aplicación de las funciones exponenciales y logarítmicas a la descripción de fenómenos de la Física, la Biología, la Economía, etc.

Comparar el crecimiento exponencial y el logarítmico con otras formas de crecimiento.

Reconocer el carácter inverso de las funciones exponenciales y logarítmicas y utilizar las fórmulas para cambiar de base.

Proponer como trabajo extra clase el repaso del cálculo con logaritmos. Analizar el efecto de los parámetros en las gráficas de las funciones exponenciales; particularmente identificar las características del crecimiento y del decaimiento exponencial. Utilizar la técnica de reflexión sobre la recta y = x para obtener las gráficas de las funciones inversas y examinar la validez de este procedimiento. Practicar traslaciones verticales y horizontales, lo mismo que reflexiones sobre el eje X, de funciones obtenidas de las formas básicas de las funciones exponencial y logarítmica. Explorar la función exponencial con base e; señalar su uso en Ingeniería, Física, Economía, Estadística, etc. Ilustrar las enormes posibilidades de modelación con estas funciones mediante sus aplicaciones a diversos campos (análisis financiero, interés compuesto, valor actual, anualidades, modelos orgánicos de la Biología y la Química, estudios ambientales…).

UNIDAD V: SECCIONES CÓNICAS. (10 HORAS)

Definición bifocal de la elipse y la hipérbola. Su trazado por diversos métodos (de algunos puntos con regla y compás o continua utilizando un cordel).

Las cónicas como cortes de un cono por un plano. Verificación utilizando las esferas de Dandelin, de que las secciones cónicas satisfacen las condiciones geométricas establecidas en las definiciones clásicas (bifocal para elipse e hipérbola, directriz foco para la parábola, centro radio para la circunferencia).

Elementos de una cónica y sus relaciones, en particular relaciones entre los ejes mayor y menor de una elipse, entre el eje conjugado y el eje transverso de una hipérbola, asíntotas de una hipérbola, excentricidad de una cónica.

Objetivo particular: El objetivo particular de esta unidad es que mediante el recurso del trazado punto a punto con regla, compás y escuadras, así como el trazado en forma continua usando un cordel, permita al estudiante familiarizarse con dos curvas que para él son nuevas (elipse e hipérbola). También se pretende que usando las esferas de Dandelin pueda comprobarse que las definiciones como lugares geométricos dan las mismas curvas que proporcionan los cortes del cono.

Al terminar la unidad, el alumno:

Profundizará en la comprensión geométrica de las secciones cónicas mediante su manipulación.

Conocerá los rasgos característicos de una cónica y las relaciones entre sus elementos.

En esta unidad es importante que el alumno se familiarice con el trazado de las cónicas antes de entrar a la representación cartesiana de las mismas; resulta conveniente también que construya diversos modelos seleccionables para observar los cortes en un cono y explore, de igual modo, intersecciones de conos con esferas inscritas, antes de trabajar las esferas de Dandelin. En este punto revisar las tangentes a una esfera por un punto exterior, vistas en el primer semestre por el estudiante. Señalar el origen histórico del estudio de las cónicas destacando las aportaciones de antiguos matemáticos griegos: Menecmo, Ariseo, y Apolonio; explicar el porqué del nombre esferas de Dandelin. Recurrir al trabajo con modelos tridimensionales transparentes y que puedan ser cortados, para analizar las relaciones de tangencia entre conos y esferas, igualdad de segmentos sobre generatrices comprendidas entre planos paralelos etc., solicitar representaciones en perspectiva de estos cuerpos y las relaciones observadas; apoyar con material proyectable en el aula tales aportaciones.

UNIDAD VI: ECUACIONES CARTESIANAS DE LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA. (15 HORAS)

Deducción de las ecuaciones ordinarias de la elipse y la hipérbola con centro en el origen, con centro fuera del origen utilizando la idea de traslación de ejes.

Significado geométrico de los parámetros que aparecen en las ecuaciones, ejercicios y aplicaciones.

Ecuación general de las cónicas. Sus características según se trate de un círculo, parábola, elipse o hipérbola. Paso de la ecuación general a la forma ordinaria, ejercicios y problemas.

Aplicaciones a título ilustrativo; principio unificador de las cónicas; determinación de la tangente a una cónica por uno de sus puntos, estudio de las superficies cuadráticas, problemas sencillos de máximos y mínimos etc.

Objetivo particular: El objetivo principal de esta unidad es profundizar en la comprensión de las relaciones entre álgebra y geometría y en los métodos de la geometría analítica, a través del estudio de las últimas dos cónicas, la deducción de sus ecuaciones y el conocimiento de sus aplicaciones.

Al terminar la unidad, el alumno:

Desarrollará habilidades para pasar de la definición de un lugar geométrico a una ecuación que lo representa.

Podrá explicar el significado geométrico de los parámetros que aparecen en las ecuaciones de la elipse y la hipérbola.

Podrá identificar de qué cónica se trata al analizar SU ecuación general.

Destacar el uso de éstas cónicas en la modelación de fenómenos de astronomía y en problemas de navegación. En la obtención de las ecuaciones cartesianas de la elipse y la hipérbola evitar detenerse demasiado tiempo en los desarrollos algebraicos (para ello es importante introducir la traslación de ejes y la extrapolación de las propiedades geométricas de los parámetros) y en cambio, enfatizar los aspectos relevantes de las propiedades geométricas de estas curvas.

UNIDAD VII: AREAS, VOLÚMENES Y MÉTODOS INFINITESIMALES. (10 HORAS)

Cálculo aproximado de p .

El principio de Calavieri y sus aplicaciones al cálculo de áreas y volúmenes.

Suma de cantidades infinitamente pequeñas, cálculo de áreas y volúmenes, área bajo una curva, presiones, trabajo, etc.

Objetivo particular: Se pretende en esta unidad introducir al alumno al estudio de métodos matemáticos de aproximación que sirven de base para la construcción de algunas de las ideas fundamentales del Cálculo Diferencial e integral.

Al terminar la unidad, el alumno:

Utilizará el método de exhaución para aproximar el valor de p .

Comprenderá y utilizará el principio de Cavalieri para el cálculo de áreas y volúmenes de figuras y cuerpos con secciones equivalentes.

Aplicará las ideas intuitivas de descomposición de figuras y cuerpos y de aproximación indefinida para el cálculo de áreas y volúmenes, y a la solución de problemas sencillos extraídos de la Física y otras disciplinas.

Destacar que a pesar de la dificultad para el cálculo directo de áreas y volúmenes, los métodos de aproximación permiten arribar a fórmulas para la obtención precisa de valores. Determinar el volumen de una esfera mediante pirámides con vértices concurrentes en su centro, obtenidas por partición de su superficie en polígonos. Referir y utilizar el método de Arquímedes para aproximar los valores de p y el área de un círculo. Comentar en clase el método de los desplazamientos de fluidos descubierto por Arquímedes para calcular el volumen de cuerpos irregulares; señalar la efectividad y limitantes de este principio y contrastar este método empírico físico con los de la geometría. Obtener el volumen de conos y cilindros mediante particiones, respectivamente, en prismas y pirámides triangulares; descripción de conos y cilindros como límites de pirámides o prismas.

CALIFICACION FINAL = PROMEDIO DE DOS EVALUACIONES PARCIALES, PROYECTO Y EXAMEN FINAL.

100% = 30% + 30% + 10% + 30%

Dolciani, Mary P. & otros. Algebra moderna y trigonometría 2. Publicaciones Cultural. México 1967.

Lehman, Charles H. Geometría Analítica. Edit. Limusa. México, 1982.

Swokowski, E.W. Algebra y trogonometría con geometría analítica. Grupo editorial Iberoamérica. México 1983.

Larson/Hostetler. Algebra. Publicaciones Cultural. México 1996.

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