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127.
APENDICE 3.
SINERGETICA DE LOS DEDOS INDICE EN VAIVEN
Se explica aquí el modelo HKB (Haken, Kelso y Bunz). En los fenómenos periódicos se llama fase a la parte fraccional de un
período total 2 pi, a través de la cual se ha movido la variable temporal de
una magnitud periódica (por ejemplo, la de la posición del dedo en vaivén
de una mano con la muñeca fija, haciendo el símbolo que se interpreta como
"nó"). El punto de referencia para la fase puede ser arbitrario, a partir
de un tiempo cero arbitrario. Se suele tomar como cero el momento cuando el
sentido del movimiento cambia de signo (el dedo en vaivén deja de ir hacia
la izquierda para empezar en el sentido contrario). El origen se elige de
manera que la parte fraccional del período sea inferior a 2 pi (por ejemplo,
cero).
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Amplitud
³--fi--³
³-----2TT-----³
tiempo
Fig 29 - Dos ondas sinusoidales desplazadas con una fase fi, medida cuando
la amplitud es nula. Para los dos dedos índices de un mismo experimentador,
ellos están en fase (fi = 0) si los dos están a la izquierda (y luego a la
derecha) en el mismo instante. Aquí están fuera de fase, desplazados fi = pi.
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El experimentador tiene sus dos brazos extendidos hasta las muñecas hacia
adelante y las manos y sus índices apuntando al techo. Como son dos dedos
índices, cada uno con su propia fase (è1 para el izquierdo y è2 para el
derecho), conviene normalizar la experiencia definiendo la fase relativa
fi = FI1-FI2.
Ellos se pueden mover casi en paralelo (con fi muy cercano a cero), a la
manera de dos limpiaparabrisas de automóvil (movimientos paralelos o en fase). Si el
ritmo es cada vez más rápido, ocurre una involuntaria transición de fase
desde el paralelismo del movimiento en vaivén (fi ÷ 0) hacia un
antiparalelismo o antifase.(fi ÷pi). Hay varios otros posibles ensayos de dedos de
manos opuestas, entrelazados o nó, con movimientos en vaivén o giratorios,
que revelan una análoga transición de fase del desequilibrio (ya que lo es
por el consumo de ATP o aporte de energía muscular asociados con la
dinámica). Se trata de una dinámica compleja porque la mente dirige el
movimiento muscular mandado por un sistema, basado en genes
comportamentales, que ha evolucionado hacia la solución instintiva típica
del ser humano, que alterna el movimiento de sus miembros, contrariamente
al canguro que salta con los dos pies ubicados a la par. Esta transición de
fase del desequilibrio recuerda al pasaje del paso al trote y del trote al
galope, andares o aires típicos del caballo.
Observando con atención, hay un período de movimientos lentos de los dos dedos en paralelo o en fase (<<2,25 Hz),
sin transición alguna, en movimientos alejados de la transición. Al acercarse, en ensayos
reiterados, al período crítico de frecuencia cercana a 2,25 Hz, se produce todas
las veces el salto de una situación a la otra. Está asociada a frecuencias
críticas (medidas en Hz) con datos bastante fluctuantes. Estas
fluctuaciones resultan muy importantes para la teoría, que verifica la
introducción de un orden por fluctuaciones. O sea el establecimiento de
movimientos antiparalelos o en antifase operando con 2,25 Hz o más, movimientos que una
vez ingresados no son ya abandonados, pese al progresivo frenado del ritmo.
128.
Deliberadamente es otra cosa, pero ello requiere disminuir la frecuencia de
movimiento a valores mucho menores que 2,25 Hz, el punto crítico a la ida. Como la ida y la vuelta se presentan a diferentes valores, es un fenómeno con histéresis. La zona de la transición
ocurre para í ÷ ã, la zona de movimientos paralelos o en fase es, por definición, í ÷
0 y la de los movimientos antiparalelos o en antifase es de í ÷ 2ã. La zona de
movimientos paralelos es natural si hay lentitud de movimientos. La zona de
movimientos antiparalelos es natural tanto si hay lentitud como si hay
aceleración de ritmos. Corresponde a una simetría bimodal. La zona de transición es antinatural y no se la
puede mantener establemente en la frecuencia crítica de 2,25 Hz: como ya se
ha indicado, siempre va del movimiento paralelo al antiparalelo y esto no
se puede revertir en forma espontánea, siendo irreversible por encima de la
frecuencia crítica. Esta rotura de la simetría bimodal para pasar solamente a una posibilidad antiparalela se denomina bifurcación. Ella se explica en el texto.
La sinergótica encuentra así que el parámetro de orden de esta
autoorganización es la fase relativa í. Al ir cambiando el parámetro de orden se pasa de una versión bimodal simétrica a una versión unimodal. El incremento temporal del
parámetro de orden está relacionado con el decremento temporal del
potencial V y con las fluctuaciones F (principio esclavizador de Haken)
ofi/ot = -oV(fi)/ot + F(t)
V es el potencial (por analogía energía potencial) que debe minimizarse
para asegurar estabilidad. Las fluctuaciones F se suponen gaussianas
centradas en cero. Un fuerte valor negativo de F ayuda a la transición
desde el movimiento paralelo, inestable para altos valores de V, hacia el
movimiento antiparalelo, estable para altos valores de V. El resto de la
ecuación diferencial a derivadas parciales indica que si uno incrementa el
potencial V en el tiempo con F nulo, se pasa de dedos índices en un
movimiento paralelo a otro antiparalelo, o sea desde un valor alto (fi÷pi)
para el parámetro de orden a un valor bajo (fi÷0), en el tiempo. Solamente
se puede pasar de antiparalelo a paralelo si se hace tender a cero la
variación del potencial en el tiempo y se origina una fluctuación
fuertemente positiva.
Una vez esclavizado el parámetro de orden fi en valores cercanos a cero, se
despeja que V(fi) = V(-fi), condición de simetría que indica que nada cambia
si se redefine al dedo izquierdo como derecho y viceversa. Además el valor
de n no altera las cosas si n = 0,2,4... ya que
V(fi) = V(fi+nTT)
Tomando todos estos datos en consideración, se puede modelizar de la
siguiente forma la estabilidad de los dedos índices en seguir con el
movimiento periódico previo:
V(fi) = - (mu1.cos fi + mu2.cos 2fi)
En la Fig 30 se indican los perfiles de potencial en función de í para
todas las variaciones entre 1,000 y 0,000 de (mu2/mu1) que pasa a tener el
papel de parámetro de control. Con el valor 1,000 ambos son iguales y con
el valor 0,000, æ1 es infinitamente mayor. Nótese que el modelo explica por
qué no hay una transición cuesta arriba una vez que el movimiento conjunto
se estabilizó en el punto de mínimo potencial.
El potencial V(fi), varía con el parámetro de orden y si es bajo para cierto
valor de fi se interpreta como característica de una situación estable. Esto
se aprecia en la Fig 30. Allí se grafican muchos perfiles con dos valles
simétricos laterales y uno grande central. Hay dos casos posibles de
movimiento paralelo (en el momento t = 0, los dos dedos ya sea a la
izquierda o bien a la derecha), lo cual se corresponde con los dos valles.
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Fig 30 - Potencial V en ordenadas y fase relativa fi en abcisas asociado con
valores del parámetro de control (mu2/mu1) que van desde 1 (extremo superior
izquierdo) hasta 0 (extremo inferior derecho). La pelotita incorporada en
cada uno de los casos indica la ubicación del sistema dinámico de los
dedos, comenzando con una dinámica netamente paralela con (mu2/mu1) ÷ 1,
situación en que podría, con una fuerte fluctuación, pasarse a la otra
posibilidad y terminando con una dinámica netamente antiparalela con
(mu2/mu1) ÷ 0, situación donde no hay posibilidad de volver a la dinámica
paralela. La transición de fase se produce en (mu2/mu1) ÷ 0,250. El perfil
del parámetro de orden cambia con el parámetro de control.
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pequeños. Si fuera perfecto, fi valdría -pi ó +pi segun sea la convención
inicial. El movimiento antiparalelo estáá asociado con el menor potencial
del valle grande. Si fuera perfecto, la fase relativa fi valdría cero. Las
fluctuaciones F modifican la perfección del movimiento, cualquiera que sea
su tipo.
- ESTUDIO DE LA DINAMICA DEL CASO PARALELO.<
Contrariamente a las primeras gráficas de la Fig 30, la pelotita estará
aquí en el fondo del valle central para todos los valores de (mu2/mu1). Las
fluctuaciones experimentales tienden muy levemente a subir con el
aceleramiento de la dinámica hacia (mu2/mu1) ÷ 0. No cambia ni la media ni
casi la varianza con el tiempo del ensayo con dedos en aceleración gradual.
- ESTUDIO DE LA DINAMICA DEL CASO INICIALMENTE PARALELO
Subiendo la frecuencia desde 1,25 a 2,50 Hz se observa que al repetir los
ensayos, la varianza de los puntos experimentales de las diversas corridas
aumenta a medida que la frecuencia se acerca a 2,50 Hz, momento en que es
máxima. En ese entorno se produce la transición de fase, lo cual en el
lenguaje de la sinergética se describe así: los grados de libertad del
movimiento de los dedos quedan esclavizados para adoptar una estructura de
dicho movimiento diferente de la inicial. La varianza cae bruscamente con
datos entre 2,25 y 2,50 Hz. A los 2,50 Hz el movimiento antiparalelo,
esclavizado, es estable. En valores de 1,25 Hz o menos, los grados de
libertad para el movimiento de los dedos son mayores, ya que pueden hacerlo
antiparalelamente además de paralelamente. Los valores de fi previos a la
transición tienen como valor medio 160 grados. Los valores de í posteriores a la
transición tienen como valor medio 10 grados. Entre los 160 y los 10 grados
ocurren esas fluctuaciones ya anotadas.
- AUTOORGANIZACION
los grados de libertad que exhiben los dedos índices comprometidos con el
movimiento paralelo pasan por un período de fuertes tensiones para acabar
esclavizados para permitir la aparición de otros grados de libertad menores
asociados con la dinámica prevalente cuando se aumenta el apartamiento del
equilibrio. Esto es típico de todas las autoorganizaciones y se va a
volver a ver con la autoorganización de la maduración del pensamiento.
Se puede indicar que la sinergética (ciencia de las autoorganizaciones
resultantes de transiciones de fase del desequilibrio), resulta más
matizada que la termodinámica clásica del equilibrio. La visión
macroscópica de la sinergética utiliza la autoorganización espontánea del
movimiento antiparalelo de los dedos como un ejemplo paradigmático que
ilumina un tipo muy general e importante de fenómenos.
Friedrich R, Haken H - A short course on synergetics, in Proto, A (ed.)-
Nonlinear phenomena in complex systems, North Holland, 1989.
Actualizado 15 de Octubre, 1998
(Pagina en preparacion)
