Coincidências: Aleatórias ou Fantásticas? Mais improváveis coincidências podem resultar de jogos de eventos aleatórios. Coletando dados aleatórios conseguimos obter padrões que seriam imperceptíveis "a olho nu"

Bruce Martin

"Você não acredita em telepatia?" Meu amigo, um profissional sóbrio, pareceu surpreso. "Você acredita?!" Eu perguntei. "Claro! Muitas vezes em que eu estava na rua à noite e, repentinamente, fiquei preocupado com meus filhos. Quando ligo pra casa, fico sabendo que um deles está doente, se machucou ou teve pesadelos. Que outra explicação você tem pra isso?"

Tais episódios acontecem a todos nós e é comum escutar as pessoas dizerem "Isto não pode ser só coincidência." Atualmente a explicação que muitas pessoas alcançam envolve telepatia ou habilidades psíquicas. Mas será que nós devemos nos entregar assim prontamente nos braços de um reino místico? Esses casos não podem ser realmente coincidência?

Há dois fatos a respeito de coincidências que a maioria das pessoas não conhece. Primeiro, nós tendemos a reforçar o significado de coincidências, tanto acordado como em sonhos, nas nossas memórias. Eventos comuns, isto é, que não tem nada demais, não ficam registrados em nossas memórias com a mesma intensidade. Segundo, nós falhamos em compreender se os eventos altamente improváveis que ocorrem todos os dias a todos nós, são realmente difíceis de acontecer. É impossível estimar as probabilidades dos eventos coincidentes que ocorrem em nossas vidas diárias. Nós freqüentemente tendemos a atribuir às coincidências uma probabilidade menor do que elas tem de acontecer.

Entretanto, é possível calcular as probabilidades de alguns eventos aparentemente improváveis com exatidão. Esses exemplos fornecem pistas de como nossas expectativas fogem da realidade.

Aniversários Coincidentes:

Em uma seleção aleatória de 23 pessoas há 50% de chance de pelo menos duas delas fazerem aniversário no mesmo dia. Quem não fica surpreso ao ouvir isso pela primeira vez? O cálculo é exato. Primeiro calculamos a probabilidade de todas as pessoas no grupo terem aniversários diferentes (X) e então subtraímos esta fração de 1 para obtermos a probabilidade de um aniversário comum no grupo (P), P = 1 - X. Probabilidades variam de 0 a 1, ou podem ser expressas de 0% para 100%. Para não haver aniversários coincidentes, uma segunda pessoa tem uma escolha de 364 dias, uma terceira pessoa tem 363 dias, e a enésima pessoa tem (366 - n) dias. Assim a probabilidade para aniversários diferentes fica:

Com esses fatoriais a última equação não é especialmente útil a menos que se tenha a habilidade de calcular números grandes. Fica mais fácil usar um computador para calcular Xn da primeira igualdade para valores sucessivos de n. Quando n = 23, X = 0.493 e P = 0.507. Um gráfico da probabilidade de pelo menos um aniversário em comum, P, versus o número de pessoas, n, aparece no lado direito em círculos na Figura 1. A curva mostra que a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia cresce lentamente, a princípio em menos de 12% com dez pessoas, aumentando para 50% de probabilidade no círculo aberto correspondente a vinte e três pessoas, "achatando" alcançando 90% de probabilidade em um grupo de quarenta uma pessoas. Isso significa que, na média, de dez grupos aleatórios de quarenta e uma pessoas, em nove deles pelo menos duas pessoas farão aniversário no mesmo dia. Nenhumas força misteriosa é necessária para explicar esta coincidência.

Note que a probabilidade de aniversários coincidentes para 23 + 23 = 46 pessoas não é 100%, como alguns poderiam supor, mas 95% como mostrado pela curva à direita na figura 1. Estendendo a curva além do limite de Figura 1 revela-se que cinqüenta e sete pessoas produzem 99% de probabilidade de aniversários no mesmo dia.

O mesmo princípio pode ser usado para calcular a probabilidade que em um grupo aleatório pelo menos duas façam aniversário dentro de um dia (período de 24 horas, isto é, mesmo dia e dois dias adjacentes). Esta condição é menos restritiva que a anterior, e 50% de probabilidade é conseguida com somente catorze pessoas. A curva à esquerda na figura 1 mostra o gráfico das probabilidades de aniversário dentro de um dia.

Cavando um pouco mais fundo em alguns aspectos das probabilidades de aniversários idênticos chegamos a mais conclusões. Note que nós dissemos vários vezes "pelo menos duas pessoas" fazendo aniversário no mesmo dia. Conforme o tamanho de grupo aumenta as chances para coincidências múltiplas também aumentam. A curva que desce à esquerda da Figura 2 (pontilhada em preto) representa a probabilidade de nenhuma coincidências (NC) de aniversário, idêntico aos valores do Xn calculados acima. A primeira curva com um gráfico de máximo (bolinhas azuis) representa a probabilidade de somente um par de pessoas (1P) fazendo aniversário no mesmo dia. O máximo ocorre com vinte e oito pessoas, tendo uma probabilidade de quase 39%. Conforme o grupo aumenta, a probabilidade de outras coincidências também aumenta. A segunda curva com um máximo (de preto) representa a probabilidade de exatamente dois pares de pessoas (2P) fazendo aniversário no mesmo dia. Seu máximo ocorre com trinta e nove pessoas, com uma probabilidade de 28%. A última curva ascendendo na Figura 2 (pontilhada em azul) representa todas as outras probabilidades de coincidências (>2P), consistindo de três pares, três pessoas, quatro pares, etc. Em qualquer ponto do gráfico, as quatro curvas juntas totalizam 100% de probabilidade.

Figura 2. Probabilidades de Múltiplos Aniversários Coincidentes: A curva que desce à esquerda representa a probabilidade de não haver nenhuma coincidência (NC). A primeira de máximo representa a probabilidade de apenas um par (1P) com aniversário idêntico. A segunda curva de máximo representa a probabilidade de exatamente dois pares (2P) com aniversários idênticos (data diferente para cada par). A curva que sobe à direita representa as probabilidades de todas outras coincidências (>2P), três pares, três pessoas, quatro pares, etc. Para qualquer número de pessoas as probabilidades das quatro curvas totaliza 100%.

A Figura 2 mostra que para vinte e três pessoas as probabilidades são 36% para um par, 11% para dois pares, e 3% para o total de todas as outras coincidências para uma soma de probabilidades de 50%. Esses 50% são as chances de haver pelo menos um tipo de coincidência. Para vinte e três pessoas a probabilidade de nenhuma coincidência também é de 50%, como mostrada na curva que desce (NC) na Figura 2. Há uma quase interseção tripla com trinta e oito pessoas onde as probabilidades de 1 par idêntico, 2 pares idênticos, e o total de todas outras coincidências está em 28-29%. Para trinta e oito ou mais pessoas o total de todas outras coincidências torna-se maior que a probabilidade de um ou dois pares, e passa de 50% com quarenta e cinco pessoas. Em um grupo aleatório de mais de quarenta e cinco pessoas a maior probabilidade é de haver mais de duas pessoas fazendo aniversário no mesmo dia.

Esta série de cálculos serve para tirarmos uma conclusão: Se coincidências de datas de aniversários são muito mais comuns do que poderíamos imaginar, então provavelmente muitas daquelas outras coincidências em nossas vidas são muito mais fáceis de acontecer e não são tão fantásticas assim. Nós não devemos multiplicar as hipóteses: o princípio da "Lâmina de Occam" declara que a explicação mais simples deve prevalecer.

Mãos de "Copas Fora"

No jogo de cartas chamado "Copas Fora" há 635.013.559.600 (seiscentos e trinta e cinco bilhões, treze milhões, quinhentos e cinqüenta e nove mil e seiscentas) mãos de treze cartas diferentes. Este número de mãos podiam ser jogadas se todas as pessoas do mundo tivessem jogado "Copas Fora" pelo menos um dia. Para um indivíduo poderia levar vários milhões anos jogando continuamente para que ele recebesse cada uma destas mãos. Para um jogador tirar qualquer mão a probabilidade é de 1/635.013.559.600 ou um pouco mais que uma parte em um milhão de milhões. Qualquer mão é tão improvável quanto tirar as treze cartas de copas numa vez, mas toda vez que jogamos pegamos alguma mão. Mãos de "Copas Fora" são um exemplo de ocorrências diárias de eventos muito improváveis, a única diferença é que não determinamos antes quais cartas vamos tirar, por isso nem notamos que aconteceu uma enorme coincidência.

Jogadas de "Cara ou Coroa"

Que seqüência de caras (C) e coroas (O) você espera em vários lançamentos aleatórios de uma moeda? Nem todas caras, nem todas coroas, nem mesmo a seqüência alternada (OCOCOCOC), já que esta série é obviamente regular e não aleatória. Em uma seqüência aleatória nós esperamos que saia tanto caras quanto coroas. Nós podemos simular progressões de lançamentos de moeda com uma seqüência aleatória de números.

Até onde se sabe, os dígitos decimais do número irracional p, que multiplica o diâmetro de um círculo para obter a circunferência, são aleatórios. Isto não significa que toda vez que p é calculado dê um resultado diferente, mas significa que o valor de qualquer dígito é imprevisível a partir dos dígitos anteriores. Um exemplo de um padrão previsível é a seqüência de dígitos decimais na fração 1/7=0,142857142857142857. . . , onde há uma óbvia repetição de todos os seis dígitos decimais.

Os dígitos decimais de p têm sido calculados para centenas de milhões de dígitos por computadores muito velozes, mas nós listamos aqui somente os primeiros 100 dígitos em quatro filas de 25 dígitos.

3,1415926535897932384626433

8327950288419716939937510

5820974944592307816406286

2089986280348253421170679

Há cinqüenta e um dígitos pares e quarenta e nove dígitos ímpares. Há quase uma distribuição igual quando os primeiros 100 dígitos decimais são divididos de outra maneira: quarenta e nove dígitos de 0 para 4 e cinqüenta e um dígitos de 5 para 9.

Sabendo que os dígitos decimais de p são aleatórios, nós podemos simular uma seqüência aleatória de caras e coroas em lançamentos de moeda correspondendo dígitos pares para caras e dígitos ímpares para coroas. A seqüência de caras e coroas em 100 lançamentos com 25 lançamentos por linha torna-se:

OCOOOCCOOOCOOOOCOCCCCCCOO

COCOOOCCCCCOOOOCOOOOOOOOC

OCCCOOCOCCOOCOCOCOCCCCCCC

CCCOOCCCCCOCCCOOCCOOOCCOO

Observando a seqüência aleatória nós encontramos algumas regularidades, tal como a seqüência alterada de oito lançamentos de 62-69 (sublinhado). A probabilidade de uma seqüência alternada de 8 lançamentos é uma vez em 128 lançamentos (dois elevado à sétima potência). Há algumas seqüências longas só de caras e só de coroas. Há duas seqüências de 5 caras, uma seqüência de 6 caras, uma seqüência de 8 coroas, e uma seqüência surpreendente de 10 caras. Os dígitos decimais 69-78 de p são todos pares (logo após os dígitos sublinhados). Uma seqüência de dez dígitos pares deveria ocorrer unicamente uma vez em 1.024 dígitos (dois elevado a décima potência). Ainda assim uma seqüência dessas ocorre nos primeiros oitenta dígitos.

Que temos aqui? Uma prova de que os dígitos decimais de p não são aleatórios? Não, o que nós temos em vez disso, é uma demonstração de como sempre é possível combinar dados aleatórios para encontrar regularidades não determinadas anteriormente. Já que dez dígitos pares ocorrem dentro dos primeiros 100 dígitos decimais de p, nós podemos (erradamente) pensar que seqüências como essa ocorrem freqüentemente. Na verdade outra seqüência de dez dígitos pares não ocorre outra vez nos primeiros 1.000 dígitos decimais de p. Nos primeiros 1.000 dígitos uma seqüência única de dez dígitos ímpares ocorre de 411-420.

O ponto é que a própria natureza de aleatoriedade assegura que combinando dados randômicos chegamos a algum modelo, só que ele não foi especificado antes, é por acaso. Se alguém encontra um modelo combinando dados aleatórios, pode usar isto como uma hipótese para investigação de mais dados, mas nunca tirar uma conclusão geral disto. Em nosso exemplo nós descobrimos (mas não previmos) dez dígitos pares dentro dos primeiros 100 dígitos, mas isso não ocorre outra vez nos próximos 900 dígitos. Para confirmação de uma tendência, os dados de alvo devem ser previstos antes da análise dos dados. Se um modelo inesperado surge depois da análise dos dados, o modelo pode ser usado como uma hipótese para obter e analisar um conjunto inteiramente novo de dados.

A seqüência caras e coroas pode ser aplicada de outras maneiras. Considere um cabeça de área de futebol que acerta 50% de seus passes ou um jogador de basquetebol que converte 50% de seus arremessos. Designe caras (C) para um passe certo ou um arremesso que se converte e coroa (O) para erro de passe ou de lançamento da bola de basquete. Você verá que há seqüências inteiras de "passes certos" (C) e outras de erros. Muitas das boas e más fases de jogadores se devem somente ao acaso, são aleatórias. O jogador "pé quente" é na maioria das vezes uma ilusão que aparece em dados aleatórios quando analisados sob o ponto de vista apaixonado de um torcedor.

Falando claramente, coincidências improváveis ocorrem todos os dias para todos, e essas coincidências são na maior parte o resultado do acaso. Se o conjunto de dados é bastante grande, coincidências com certeza vão aparecer, como demonstramos com os primeiras 100 dígitos decimais de p. A probabilidade de saírem cinco caras seguidas em três lançamentos é de 3%, em 100 lançamentos a probabilidade torna-se 96%. Embora aplicado em um contexto diferente, a teoria de Ramsey (Scientific American, Julho 1990) declara que "Todo conjunto grande de números, pontos ou objetos, necessariamente contém um padrão altamente regular." Não é preciso postular forças misteriosas para explicar coincidências.

Preços Aleatórios no Mercado De Ações

Dado a fascinação corrente com o mercado de ações, nós podemos gerar um resultado ainda mais interessante dos dígitos decimais aleatórios de p. Colocando no eixo x o número do dígito decimal e no eixo y um valor de preço que é gerado a partir dos dígitos decimais como descrito na Figura 3 e na nota no final do artigo, de modo que há um equilíbrio arbitrário entre altos e baixos do preço. Para os primeiros 108 dígitos decimais de p o gráfico todo está em território positivo. Começando em zero o gráfico vai aumentando valores positivos, atingindo um platô do 48-71 dígitos decimais antes de começar a cair, quase voltando para zero no 99o (nonagésimo nono) dígito, e cruzando o território negativo depois do 108o (centésimo oitavo) dígito decimal. Para um analista técnico de mercado de ações este gráfico representa um gráfico típico de preços das ações versus o tempo. Só que este gráfico foi gerado dos primeiros 109 dígitos decimais aleatórios de p! Disso podemos concluir que as altas e as baixas são puramente aleatórias.

Um sorteio recente enviado por correspondência oferecia um prêmio grande de $5.000.000 (cinco milhões de dólares). A carta-resposta declarava que a probabilidade de ganhar o prêmio era de um em 200.000.000. De todas as pessoas que receberam a correspondência alguma ganhará o prêmio. Com tão incrivelmente desfavorável probabilidade cada pessoa deve decidir se vale a pena perder tempo e gastar um selo postal para retornar a correspondência e participar. O grande vencedor parece ser o serviço de correios, que acumula mais que dez vezes o prêmio em selos vendidos.

Assim, da próxima vez você escutar "Isto não pode ser só uma coincidência!" você terá muitas justificativas para responder: "Por quê não?"

Reconhecimento

Agradeço ao Professor Russell N. Grimes da Universidade de Virginia pelas discussões que tivemos e que conduziram a Figura 2.

Nota

A ação de preço foi gerada em uma direção positiva quando o dígito precedente é ímpar (exceto para 5) e em uma direção negativa quando o dígito precedente é par, com a grandeza do aumento ou diminuição dada pelo valor do dígito. Assim dígitos ímpares precedentes 1 + 3 + 7 + 9 = 20 gera uma direção positiva e dígitos pares precedentes 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20 uma direção negativa. A soma das duas direções é zero. Para o dígito 5 a direção está para cima ou abaixo dependendo se o dígito prévio é ímpar ou par ou até mesmo, respectivamente. Nos primeiros 108 dígitos decimais há oito dígitos 5, cada metade deles (quatro) gerando direções negativas e positivas. Portanto temos um equilíbrio perfeito e arbitrário entre as direções negativas e positivas.

Referências

Epstein, Richard Um. 1967. The Theory of Gambling and Statistical Logic Nova Iorque: Imprensa Acadêmica.

Falk, Ruma. 1981. On coincidences. Skeptical Inquirer 6(2): Inverno: 18-31.

Graham, Ronald L., e Joel H. Spencer. 1990. Ramsey Theory. Scientific American 263 (1): 112-117 (Julho).

Paulos, John Allen. 1988. Innumeracy. Nova Iorque: Random House.

Weaver, Warren. 1963. Lady Luck. Cultive Cidade, NY: Ancore Livros.

Sobre o Autor

Bruce Martin é Professor Emérito de Química na Universidade de Virginia, Charlottesville, Virginia.

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Este artigo foi publicado por "Skeptical Inquirer", número XX e foi adaptado para a língua portuguesa e, especialmente, para a realidade brasileira, tendo inclusive tido suprimidas certas partes que não têm nenhuma relação cultural com os países de língua portuguesa. Toda a responsabilidade pela tradução é de Mauro Roberto de Pennafort