HOOFDSTUK4: CHOAS IS DE GEMIDDELDE EVOLUTIE

.

HOOFDSTUK 4

Chaos in de gemiddelde evolutie

.

.

1. DE PIONIERS IN DE KARAKTERISATIE VAN CHAOS

.

In de wereld rondom ons is een verscheidenheid aan systemen waar te nemen, met elk een grote variatie in samenstelling en interacties.

Vele wetenschappers hebben getracht in die diversiteit die ons omringt, de éénheid waar te nemen. In de zeventiende eeuw slaagde Isaac Newton erin de "wetten van de kosmos" te ontrafelen. Hij slaagde erin aan te tonen hoe de beweging van de planeten kon verklaard worden als gevolg van de bewegingswetten en de gravitatiekracht. In de tweede helft van de twintigste eeuw slaagde Ilya Prigogine erin de orde en de oorsprong ervan te verklaren binnen veel complexere zelforganizerende systemen. Beide wetenschappers hebben hiermee een enorme bijdrage geleverd aan het begrijpen van de orde in het universum rondom ons. Beiden hebben ook reeds tijdens hun leven een grote faam verworven omwille van het grensverleggend werk dat ze gepresteerd hebben.

Slechts weinig wetenschappers hebben zich geconcentreerd op het ontbreken van orde, en op de kenmerken van chaotische systemen. Baanbrekend werk op dit vlak is verricht door de Oostenrijkse fysicus Ludwig Boltzmann (1844-1906).

Figuur H4F1 : Ludwig Boltzmann

.

Het belang van het werk van Boltmann werd in zijn tijd echter minder goed begrepen, misschien omdat hij zich focuseerde op de chaos en niet op de orde. Het is dan ook jammerlijk vast te stellen dat Boltzmann zijn leven heeft beëindigd door het plegen van zelfmoord. Nochthans zijn zijn inzichten van fundamenteel belang geweest voor de wetenschap, en hebben ze bijvoorbeeld in het begin van de twintigste eeuw een grote invloed gehad op de kwantummechanica.

De weg naar Boltzmann zijn inzichten was echter geplaveid door verscheidene andere verlichte geesten. Het begin van de achttiende eeuw was genkenmerkt door de verdere ontwikkeling van de stoommachine, die in de eeuw daarvoor voornamelijk door de Schotse ingenieur James Watt was geoptimaliseerd, verder bouwend op het werk van Carnot. In de achttiende eeuw begon men meer en meer in te zien dat de stoommachine een enorm potentieel in zich had voor de maatschappelijke vooruitgang. Samen met de praktische optimalisatie van de stoommachine, werd de "beweging van de warmte" in de stoommachine bestudeerd. Deze studie van de beweging van de warmte werd de "thermodynamica" genoemd. Aanvankelijk werd gedacht dat "warmte" een bijzondere stof was, die van het ene medium naar het andere kan stromen, en zo de temperatuur beïnvloeden. Het was echter de Engelse brouwerszoon James Prescott Joule (1818-1889) die inzag dat een bepaalde hoeveelheid warmte, kon omgezet worden in een bepaalde hoeveelheid mechanische arbeid. Aangezien warmte kan worden omgezet in arbeid, zo concludeerde hij, moest het een vorm van energie zijn.
Hiermee was de basis gelegd voor wat later bekend werd als de "eerste wet van de thermodynamica". Hermann Von Helmholtz (1821-1894) formuleerde deze wet van behoud van energie als volgt : "Als een zekere hoeveelheid energie op een bepaalde plaats verdwijnt, moet een gelijke hoeveelheid ergens anders binnen hetzelfde systeem verschijnen." Deze wet is nog steeds één van de hoekstenen van de huidige natuurkunde, en geleidelijk aan is "energie" als natuurkundig concept meer en meer het concept "kracht" gaan verdringen in de wetenschap. Energie kreeg stond hierbij gelijk met "het vermogen om arbeid te verrichten". Het was de Duitse natuurkundige Rudolf Clausius (1822-1888) die in 1850 een artikel publiceerde waarbij hij deze behoudswet de "eerste wet van de thermodynamica" noemde. In hetzelfde artikel beschreef hij ook wat hij de "tweede wet van de thermodynamica" noemde. Dit komt erop neer dat er binnen een thermodynamisch proces altijd een soort verval optreedt van de totale energie : een deel van de energie wordt omgezet in warmte, en is niet meer beschikbaar voor het verrichten van arbeid. Hij introduceerde hierbij een nieuw begrip, namelijk de "entropie" ("energetische wanorde of verspreiding"). Hij had aangetoond dat warmte altijd van een warm naar een koud lichaam stroomt, en niet omgekeerd ; hieruit concludeerde hij dat de entropie van een systeem toeneemt. De entropie (in een gesloten systeem) bereikt een maximale waarde bij thermisch evenwicht, dus als alle betrokken voorwerpen dezelfde temperatuur hebben aangenomen.

De tweede wet van de thermodynamica wijst op een fundamentele assymetrie in de natuur : voorwerpen koelen spontaan af, doch warmen niet spontaan op ; een bal die valt komt spontaan tot stilstand, doch valt niet spontaan omhoog ; een druppel inkt in water verspreidt zich spontaan, doch inkt verdund in water zal zich niet spontaan concentreren. De natuur blijkt dus in één welbepaalde richting te evolueren.

De Schotse natuurkundige James Clerk Maxwell (1831-1879) is voornamelijk bekend van zijn baanbrekend werk over de beschrijving van de electromagnetische eigenschappen, waarmee hij één van de belangrijkste wetenschappers van de 19de eeuw werd. Hij is echter ook de grondlegger van wat de "kinetische gastheorie" wordt genoemd. Maxwell trachtte de macroscopische eigenschappen van gassen (zoals druk en temperatuur) te verklaren door het gas voor te stellen als een groep van miljarden atomen of molecules die kris-kras door mekaar bewegen, met elkaar en tegen de wanden van het drukvat botsen. Zijn gasmodel was gebaseerd op vier stellingen :
- moleculen zijn als kleine harde bollen, waarvan de diameter veel kleiner is dan de onderlinge afstand

- bij botsingen tussen de moleculen gaat geen energie verloren
- afgezien van de botsingen, bewegen de moleculen zich zonder interacties, met een constante snelheid en in rechte lijn
- de posities en de snelheden van de moleculen zijn willekeurig
Deze laatste stelling was revolutionair. Tot dan toe was sinds de bewegingswetten van Newton aangenomen dat snelheden en posities van deeltjes goed kunnen berekend worden. Maxwell ging ervan uit dat zelfs kleine hoeveelheden gas, zoveel molecules bevatten, dat de snelheden van de molecules niet exact kunnen worden bepaald. De enige uitweg die hij zag was het werken met gemiddelden. Hij gebruikte de wetten van Newton, en toonde aan dat de temperatuur van een gas evenredig is met het gemiddelde kwadraat van de snelheden van de gassen. Hiermee had hij het verband gelegd tussen een macroscopische eigenschap, namelijk de temperatuur, en een microscopische eigenschap, namelijk de snelheid van de molecules in het gas. Hij kon wel niet de exacte snelheid van de molecules berekenen, doch wel de waarschijnlijkheid dat een bepaalde molecule een bepaalde snelheid heeft. Hij toonde aan hoe de verspreiding is van de snelheden van molecules, in functie van de temperatuur. De onderstaande grafiek geeft hiervan een voorbeeld.

Figuur H4F2 : snelheidsverdeling van molecules in functie van de temperatuur : deze curven worden de "Maxwell-Boltzmann"-curven genoemd.
Terug naar de index van dit hoofdstuk

.

2. BOLTZMAN EN STUURLOZE INTERACTIES

In 1870 publiceerde Ludwig Boltzmann (1844-1906), op basis van de kinetische gastheorie van Maxwell, een nieuwe interpretatie voor de tweede hoofdwet van de thermodynamica. Hij vertrok van de kinetische gastheorie, doch voegde er aan toe dat de meest wanordelijke toestand van de molecules binnen het systeem, ook overeenkomt met de toestand met de hoogste waarschijnlijkheid. Hij legde dus de relatie tussen waarschijnlijkheid en wanorde. Hiermee heeft hij de basis gelegd voor wat de "statistische mechanica" wordt genoemd.

Hij nam aan dat een systeem zich zal verplaatsen van een minder waarschijnlijke, naar een meer waarschijnlijke toestand, onder invloed van bijvoorbeeld warmte of mechanische energietoevoer, totdat een toestand van evenwicht is bereikt. Een systeem in evenwicht zal zich in de meest waarschijnlijke toestand bevinden, als de entropie de maximale waarde heeft bereikt.

Het is dus onmogelijk de bewegingen van de ontelbare molecules in een gas te meten, doch men kan wel een uitspraak doen over de meest waarschijnlijke toestand.

Deze nieuwe gedachtengang, die de waarschijnlijkheden en statistische kenmerken van microscopische systemen gebruikt om macroscopische eigenschappen te voorspellen (zoals temperatuur en druk), ligt aan de basis van de later ontwikkelde kwantumtheorie.

Boltzman bestudeerde dus de chaotische wereld van de beweging van atomen en molecules, en de impact die deze bewegingen hadden op onze "macroscopische", voelbare wereld.

Om zijn ideeën in dit kader te verduidelijken, zullen we gebruik maken van een vereenvoudigd model, dat een gas moet voorstellen.

Ons model van het gas bestaat uit 9 atomen (of meer algemeen "interactoren"), die in een bepaalde ruimte kunnen bewegen. De atomen kunnen bewegen in een oppervlak dat ongeveer 9 maal zo groot is, zodat er plaats is voor 81 atomen (zie onderstaande grafiek).

Aanvankelijk, in stap 1, zijn alle atomen in het centrum geconcentreerd.

Door de natuurlijke drang naar verspreiding, zien we dat in stap 2, er zich 1 atoom heeft verwijderd van het centrum. Deze verspreiding gaat verder in stap 3, waardoor in stap 4 de verspreiding volkomen at random (toevallig) is. Laten we de atomen nog verder bewegen, dan zou dit net zo wanordelijke patronen veroorzaken als in stap 4.

.

stap 1

stap 2

stap

3

stap 4

Figuur H4f3 : 4 stappen in de verspreiding van de molecules in een gasmodel

Uit dit éénvoudig model van het gas, kunnen we een aantal zaken leren.

Terug naar de index van dit hoofdstuk

2.1. Waarom verspreiden de atomen zich ?

Omdat de atomen heel licht en niet met elkaar verbonden zijn, vertonen ze onder invloed van de temperatuur trillingen die de oorzaak zijn van een continue beweging.

Enkel indien de temperatuur 0 graden Kelvin zou zijn (ongeveer - 273°C) zouden de atomen deze beweging niet vertonen.

De snelheid waarmee ze bewegen is bij een bepaalde temperatuur voornamelijk afhankelijk van het aantal atomen binnen een bepaalde ruimte (de "druk" van het gas) en van de temperatuur. Hoe hoger de temperatuur is, en hoe meer atomen in een bepaalde ruimte zitten, hoe sneller ze zullen bewegen en hoe sneller ze zich zullen verspreiden.

De atomen zullen zich spontaan verspreiden, doch het is uiterst onwaarschijnlijk dat ze zich spontaan zullen concentreren in het centrum.

De oorzaak van deze éénzijdige beweging is precies het feit dat de atomen stuurloos zijn. Doordat de atomen stuurloos zijn, zullen ze in de richting van de meest waarschijnlijke toestand bewegen : dit is de toestand met de grootste verspreiding. Om dit te kunnen inzien, moeten we de evolutie in het "gasmodel" opnieuw stap voor stap doorlopen.

De waarschijnlijkheid van elke stap, hangt af van het aantal macroscopisch verschillende patronen die er tot een bepaalde stap behoren.

In stap 1 is er maar 1 patroon mogelijk, namelijk het vierkant. Hoe je de atomen onderling ("microscopisch") ook van plaats verwisselt, het ("macroscopisch") patroon blijft visueel gelijk (voor de waarnemer).

In stap 2 echter is het aantal patronen, of aantal mogelijke toestanden, een heel stuk hoger. Naast de onderlinge verwisseling van de atomen zoals in stap 1, zijn er nog heel wat extra toestanden mogelijk. De ene lege plaats in het centrum, kan immers nog op 8 andere plaatsen voorkomen : er zijn dus 9 mogelijke patronen voor het centrum. In de perifere ruimte rond het centrum zijn 72 mogelijke plaatsen waar het ene ontsnapte atoom zich kan bevinden, met andere woorden 72 extra patronen.

In stap 3 zijn er 2 atomen ontsnapt uit het centrum. Dit brengt het aantal mogelijke patronen op 9 voor de eerste lege plaats in het centrum en, en 8 voor de tweede lege plaats : samen wordt dit dus 9*8= 72 mogelijke patronen in het centrum. Een aantal van deze patronen zijn echter gelijk : het speelt immers geen rol of eerst atoom 1 het centrum verlaat, en daarna atoom 2 of omgekeerd. Om die reden dient het totaal aantal patronen door 2 gedeeld te worden : 72/2=36. Indien er 3 atomen verdwijnen uit het centrum, kunnen we de redenering op analoge wijze verder zetten.

Ook in de periferie rond het centrum stijgt het aantal mogelijke patronen van stap 1 naar stap 4 heel sterk. Daar het aantal vakjes (of mogelijke plaatsen voor atomen) hier nog veel groter is (72 in plaats van 9), is de stijging hier nog veel groter dan in het centrum.

In stap 4 bereikt deze stijging van patronen een maximum : de atomen zijn hier ongeveer gelijk verdeeld in het centrum en in de periferie : met andere woorden hun verspreiding is maximaal. Deze toestand stemt overeen met het maximaal aantal patronen.

Waarom is nu deze toestand met het maximaal aantal patronen de meest waarschijnlijke ?

Precies omdat de atomen stuurloos zijn.

Dit is natuurlijk maar een model. Het verschil met de werkelijkheid is voornamelijk dat in werkelijkheid het aantal atomen, in een naar mensenmaat kleine ruimte (bijvoorbeeld 1 liter lucht bij atmosferische druk), reeds ontelbaar groot is. (In één liter lucht zitten bij normale druk ongeveer 1*10²³ molecules ; een 1 gevolgd door 23 nullen). Als we de waarschijnlijkheid van "stap 1" in een liter lucht, zouden vergelijken met een toestand zoals in stap 4 voor 1 liter lucht, zouden we zien de het aantal patronen voor de verspreide toestand (cfr. stap 4) extreem hoog is in vergelijking met die van "stap" 1. Met andere woorden, een spontane "concentratie" van atomen of moleculen in een gas is in werkelijkeid zo onwaarschijnlijk, dat je het nooit zal waarnemen. Bovendien zullen de atomen of moleculen in het gas altijd de neiging hebben zich zoveel mogelijk te verspreiden.

Deze maximale verspreiding is de evenwichtstoestand van het systeem. Elk systeem dat vergelijkbaar is met het gasmodel, zal evolueren naar een toestand van evenwicht, met maximale verspreiding van de entiteiten.

Deze toestand is een toestand van stabiel evenwicht.
Dit is de kern van het model van Boltzmann.

Terug naar de index van dit hoofdstuk

2.2. Wat is de relatie tussen het "gasmodel" en het "stiermodel" ?

In het model met de stieren in vorig hoofdstuk hebben we gezien dat de stieren zich spontaan verspreiden. In aanwezigheid van informatie (de rode vlag in het model) wordt deze verspreiding echter beperkt en kunnen de stieren zich concentreren in 1 stal.

De atomen in het gasmodel, zijn te vergelijken met de beweging van de stieren in afwezigheid van informatie. Het is door het afwezig zijn van informatie, dat de atomen zich kris-kras en stuurloos bewegen.

Eén van de hoofdgedachten in het evolutiemodel in dit boek is de voortdurende verspreiding van energie, materie in informatie. We kunnen nu voor de chaos van de atomen in een gas, de relatie leggen tussen informatie en verspreiding van de atomen (de atomen als M/E in het model) :

De blinde, stuurloze verspreiding van atomen zoals beschreven door Boltzman, komt ook overeen met een verspreiding die kenmerkend is bij gebrek aan informatie. Elke chaotische interactie is dus gekenmerkt door afwezigheid van informatie.
De formule van Boltzman beschrijft dus de verspreiding van "niet-geïnformeerde interactoren" en stelt dat de maximale verspreiding in dit geval overeenkomt met de meest waarschijnlijke toestand.

Elke spontane evolutie gaat gepaard met een evolutie van een meer coherente toestand, naar een minder coherente toestand. Deze blinde verspreiding zal uiteindelijk leiden tot een evenwichtstoestand, die overeenkomt met de maximale wanorde of minimale coherentie.
Indien er geen instroom of uitstroom is van M/E/I, zal er in het systeem dus geen fluxmaximalisatie optreden, en zal de coherentie dus niet spontaan toenemen.

In de thermodynamica wordt de doelloze verspreiding van de atomen aangeduid met de term "entropie". De entropie is dus een kwantitatieve maat voor de M/E- verspreiding van niet geïnformeerde entiteiten. (Zoals reeds eerder gesteld, wordt hier vaak de term "verspreiding" gebruikt,omdat deze zowel slaat op de verspreiding van de energie, als van de materie en informatie.)

Het feit dat de atomen stuurloos zijn, wordt in deze context vertaald door te zeggen dat "ze geen betekenis hebben voor elkaar". De baan die door het ene atoom wordt gevolgd, is in principe onafhankelijk van de baan die door een ander atoom wordt gevolgd. Consequent met de defintie van informatie kunnen we zeggen dat ze geen informatie voor elkaar meedragen.

Ze zijn niet geïnformeerd, en bewegen dan ook niet in formatie.

Doordat de atomen echter in een samen in een kleine ruimte zitten, zullen er gemiddeld gezien toch met een bepaalde frequentie botsingen tussen de atomen gebeuren. Deze botsingen zullen er wel toe leiden dat we een "gemiddeld" gedragspatroon kunnen waarnemen in het gas, dat we kunnen meten onder de vorm van de gemiddelde parameters zoals de temperatuur en de druk. Enkel "gemiddeld gezien", hebben de atomen een zekere betekenis voor elkaar, en enkel gemiddeld gezien kunnen we het gedrag van de atomen beschrijven.

Aanvankelijk was er binnen het gasmodel een goede ordening van de atomen, doch geleidelijk aan is de ordening en symmetrie verbroken. De initiële coherentie binnen het gas gaat meer en meer verloren, waardoor we uiteindelijk enkel nog een soort "gemiddelde" ordening en symmetrie kunnen waarnemen.

.

Boltzman heeft de relatie tussen de waarschijnlijkheid van een patroon en de wanorde van het patroon ook mathematisch weergegeven :

k log (W) = S

met andere woorden

logaritme (aantal patronen) = tekort aan coherentie = "entropie"

In de formule van Boltzmann is
- k een constante (de "Boltzmann constante")
- W de waarschijnlijkheid van de diverse patronen

Merkwaardig is dat deze formule in de grafzerk van Boltzmann is gekerft, als het ware om aan te duiden dat de formule ook op ons leven toepasselijk is, namelijk "de dood als meest waarschijnlijke toestand van het leven". De dood is inderdaad ook de meest stabiele toestand, en de toestand met de grootste incoherentie...

Dit lijkt wel de taal van de duivel en zijn handlangers zelf.

Het mag ons dan ook niet verwonderen dat men soms ironisch spreekt over "de demon van Boltzman", alsof de drang naar verpreiding en wanorde een "duivelse kracht" is die om elke hoek leunt en elke vorm van coherentie en orde tracht te vernietigen...

Merk hierbij ook de analogie op met het "informatietekort" dat in het stiermodel tot volledig verspreiding van de stieren heeft geleid. In het model met de stieren was aangetoond dat dit "tekort aan informatie" gelijk was aan het aantal knooppunten op de weg van de stieren. Indien er 8 stallen zijn, is het aantal knooppunten (of te nemen beslissingen op te weg van de stier) :

log₂ (8) = 3 bit

met andere woorden

logaritme₂ (aantal uitkomsten) = informatietekort

De formules voor het wanorde en voor het informatietekort vertonen dus een mooie analogie. Uit deze analogie mag niet besloten worden dat informatietekort en wanorde identiek zijn. Het zijn wel twee kenmerken van éénzelfde toestand.

Op de betekenis van het begrip "informatietekort" zal later nog worden teruggekomen ; het is de informatie nodig om de selecties gedurende het volledig traject volledig te bepalen.

Nu we meer inzicht hebben gekregen in de aard en het onvermijdelijke karakter van de verspreiding, rijst meer en meer de vraag naar de oorsprong van een "scheppende" tegenpool voor dit "demonisch" en destructief gedrag.

We zullen de belangrijke vraag moeten beantwoorden hoe het mogelijk is dat, ondanks de algemene tendens naar "wanorde" en verspreiding, we dan toch relatief veel orde rondom ons zien. Onze leefwereld rondom ons vertoont immers heel veel geordende patronen. Als mens bouwen we huizen, auto’s ; in de natuur zien we bomen, prachtige bloemen en dieren en indrukwekkende landschappen. Hoe valt dit te rijmen met de stelling van steeds toenemende verspreiding en steeds toenemende wanorde ?
Boltzmann zelf erkende reeds de schijnbare contradictie tussen de toenemende verspreiding in het universum, en het voorkomen van leven op onze planeet. Hij besefte dat de continue energietoevoer van de zon hiervoor in belangrijke mate verantwoordelijk was, en stelde een soort van "Darwiniaanse" competitie rond entropie voor, als drijvende kracht van levende organismen :
"De strijd voor het leven die gevoerd wordt door levende wezens, is daarom geen strijd om de grondstoffen - want deze zijn overvloedig beschikbaar - en ook niet om energie, want deze is overvloedig beschikbaar, maar een strijd om entropie, die wordt geproduceerd door de transitie van energie van de hete zon naar de koude aarde" (Boltzmann, 1886).

Ook de informatie op aarde lijkt steeds toe te nemen. Het aantal tijdschriften en boeken neemt steeds toe. De opslagcapaciteit van onze media neemt voortdurend toe. Hoe valt dit te rijmen met de stelling van steeds toenemende verspreiding en steeds toenemend informatietekort ?

Op deze schijnbare paradox zullen we verder nog terugkomen.

Vooraleer we dit doen, kunnen we eerst nog een aantal lessen trekken uit het "gasmodel".

Terug naar de index van dit hoofdstuk

Ga naar het vervolg op de volgende pagina