A característica mais marcante da filosofia pitagórica era a conexão, sempre presente, entre as várias ciências e, em particular, entre a aritmética, a geometria, a música e a astronomia, tanto é que na Grécia antiga a música fazia parte do ensino das matemáticas. Platão afirmava que: "A geometria é um método para orientar a alma na direção do Ser Eterno… e não é possível chegar a ter uma verdadeira fé em Deus sem ter o conhecimento da matemática e o íntimo nexo entre ela e a música". Consequentemente, tanto para os pitagóricos como para Platão a geometria, a aritmética e a música eram ciências sagradas, isto é esotéricas. De fato, a relação entre a música e os números apresenta um dúplice aspecto: aritmético e geométrico de um lado, simbólico e hermético pelo outro lado.

A música moderna utiliza uma escala chamada de temperada enquanto que os gregos antigos utilizavam a escala pitagórica. De acordo com a tradição, Pitágoras, mediante a observação e uns experimentos, tinha descoberto que no tetracordo grego (ou lira de Orfeu) as relações entre as quatro cordas podiam si exprimir como razões entre os números 1, 2, 3 e 4, ou seja os quatro números que compõem a tetraktys pitagórica.

Nicômaco de Gerasa, escritor do século I da nossa era, atesta que na escola pitagórica eram conhecidas três médias: geométrica, aritmética e harmônica, sendo, essas duas últimas, intimamente conexas com a geração das notas musicais. Para melhor esclarecer o conceito vamos considerar dois segmentos (ou dois números) a e c . A média aritmética entre a e c é definida como:

Quanto à média harmônica, um segmento b é dito ser médio harmônico entre a e c quando:

Ou seja:

Relação que também pode ser escrita nessa forma:

Essa, por uma propriedade fundamental das proporções, pode ser escrita assim:

mas, pela (1) ela assume a forma seguinte:

Como Pitágoras aprendeu essa proporção na Babilonia é conhecida como Proporção Babilonesa e é interessante notar que nela os termos médios são a média aritmética e a média harmônica dos extremos. No caso particular em que a = 1 e c = ½ a proporção babilonesa se torna:

Essa proporção contém justamente os números que representam os comprimentos relativos das quatro cordas do tetracordo e é o caso mais simples de proporção babilonesa. Agora se a primeira corda emite um dó , a quarta corda, tendo a metade do comprimento, emite um som de frequência dobrada, isto é um dó da oitava superior. Os sons emitidos pelas outras cordas, cujos comprimentos são as médias aritméticas e harmônica das cordas extremas, são respectivamente um fá e um sol. As notas desse primeiro tetracordo são portanto:

Tomamos agora os últimos dois termos da proporção anterior como os primeiros dois termos de uma nova proporção onde o último termo será, naturalmente, a metade do primeiro e o terceiro membro (x) vai ser calculado oportunamente:

Musicalmente, essa nova proporção corresponde às notas sol, dó, x, sol.

O comprimento da terceira corda pode ser logrado em várias maneiras e o resultado é x = 4/9, mas, sendo 4/9 < ½ esse valor seria externo ao tetracordo fundamental. É, portanto, conveniente tomar a sua harmônica inferior, de comprimento dobrado (8/9), assim que essa nova corda, que é um ré , permaneça entre as duas cordas extremas do tetracordo fundamental. Dispomos agora de um segundo tetracordo cujas notas são:

Continuando da mesma forma se obtem um terceiro tetracordo:

um quarto tetracordo:

um quinto tetracordo:

um sexto tetracordo:

e, enfim, um sétimo e último tetracordo:

E não adianta continuar com esse procedimento, pois iríamos encontrar novamente o sol, etc., mas é de importância fundamental reparar que a terceira corda (incógnita) de cada novo tetracordo é sempre a média harmônica entre as cordas extremas, sendo que todas as novas proporções são babilonesas.

Então, partindo do tetracordo fundamental e operando sempre com a mesma lei, os pitagóricos encontraram mais quatro notas; o total dessas sete notas pode ser escrito de acordo com a ordem decrescente do comprimento das cordas, ou seja:

dó   ré   mi   fá   sol   lá   si   dó

Onde a oitava nota é a harmônica superior da primeira. Em termos numéricos essa sequência se escreve assim:

É fácil constatar que todas essas frações contêm, tanto ao numerador como ao denominador, apenas potências dos números dois e três, sendo 128 = 2 elevado a 7 a máxima potência do dois e 243 = 3 elevado a 5 a máxima potência do três. Por outro lado, partindo do dó e contando 5 notas se chega ao sol, que é a primeira nota do segundo tetracordo; partindo agora do sol e contando mais 5 notas se chega ao ré que é a primeira corda do terceiro tetracordo, e assim por diante são obtidas todas as primeiras cordas dos 7 tetracordos. É também por essa razão que os pitagóricos consideravam o cinco e o sete números particularmente sagrados. Também o três era tido como sagrado, pois cada tetracordo contem apenas três notas diferentes.

Observamos enfim que na escala pitagórica existem cinco intervalos maiores: dó-ré, ré-mi, fá-sol, sol-lá e lá-si. Esses intervalos são maiores que os intervalos mi-fá e si-dó. Para obviar a esse incoveniente, os pitagóricos colocaram mais cinco cordas (correspondentes às teclas pretas do piano) entre os intervalos maiores. Assim eles obtiveram um total de 12 cordas, onde cada uma difere da anterior de um intervalo constante chamado de semitom. Vale a pena lembrar que também o 12 era um número sagrado e esotérico, sendo 12 o número de arestas de um cubo e, principalmente, o número das faces do dodecaedro, sólido perfeito e símbolo do universo.

Parsifal