From: Виктор Свиридов ( trc-svn@laes.sbor.ru ) Date: 14:11:37 10/04/00
Лекция 1.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВО-СТРУКТУРНОЙ ТЕОРИИ (КСТ).
Окружающий нас Мир можно рассматривать с различных позиций. Все его многообразие материальных и нематериальных явлений можно анализировать и описывать в виде пространственных, временных, причинно-следственных и других зависимостей. Все это делается в рамках других научных и ненаучных теорий. Нас же будет интересовать только один аспект из всего этого многообразия взаимосвязей.
Независимо от физической сущности объектов и явлений природы все они имеют некоторое общее свойство. С одной стороны, все они являются частью чего-либо "более общего", с другой стороны, сами являются этим "общим" при рассмотрении на другом, более "низком" уровне.
Таким образом, если абстрагироваться от всех различий присущих объектам и явлениям физического Мира, то последние можно рассматривать как некоторое пространство (совокупность) однотипных взаимосвязанных объектов. Такое пространство как известно называют структурой. А поскольку пространство наше состоит из дискретных элементов (частиц или квантов) то и называть его мы будем квантово-структурным пространством (КСП), а элементы КСП будем называть квантами структуры (КС).
Определим формально КСП и КС.
1. Понятие кванта структуры и квантово-структурного пространства.
Пусть задано дискретное конечное пространство S взаимосвязанных между собой объектов (элементов)
si => S , где:
1) для каждого элемента si определены два линейно-упорядоченных подмножества (цепочки) Ii и Oi произвольной длины, составленных из элементов того же пространства S;
2) задано отношение порядка такое, что
sj < si < sk , если sj => Ii и sk => Oi ;
3) задано отношение равенства такое, что
si = sj , если Ii = Ij ;
4) для любой пары элементов si , sj выполняется условие si =/ sj .
Здесь и далее в связи с ограниченными графическими возможностями конференции будем пользоваться следующими не совсем стандартными условными обозначениями:
S - КСП;
si - i-тый элемент КСП S;
si < sk - элемент si предшествует элементу sk;
sj => Ii - элемент sj принадлежит множеству Ii i-го элемента;
= - знак равенства элементов;
=/ - знак неравенства элементов;
<s1 s2 ... sk> - линейно-упорядоченное множество элементов (цепочка);
Пространство S, удовлетворяющее данным условиям, будем называть квантово-структурным пространством (КСП), а элементы si - квантами (частицами) структуры (КС).
В ряде случаев КСП графически может быть изображено в виде графа, вершинами которого являются элементы si , а направление и порядок следования дуг соответствуют отношению порядка. Дуга направлена от вершины si к вершине sj , если si < sj и пересечение множеств Oi и Ij не пустое (Oi и Ij имеют общие элементы) .
Условно примем, что порядок следования дуг, примыкающих к вершине графа, соответствует порядку следования элементов в цепочках: для Ii - против часовой стрелки; для Oi - по часовой стрелке.
Если изобразить КСП в в виде графа, то можно увидеть, что с каждый элементом si можно сопоставить два подмножества из S, а именно подмножество Ii элементов sj определяющее входящие в вершину si связи и подмножество Oi элементов sk определяющее исходящие из вершины si связи.
Определим квант структуры si как тройку:
(si / Ii/ Oi), где (1)
Ii и Oi - упорядоченные подмножества (цепочки) элементов множества S;
/ - это просто разделитель элементов выражения.
Выражение (1) будем называть описанием КС si, а само обозначение si именем кванта структуры.
Множество Ii будем называть множеством входов КС, а множество Oi - множеством выходов КС.
Элементы sj => Ii будем называть родителями или предками si , а sj => Oi - потомками.
Связи, определяемые Ii и Oi, будем называть квантово-структурными связями (КС-связи) соответственно входными и выходными. Все множество множеств Ii и Oi будем обозначать как I(S) и O(S) соответственно.
Таким образом, в КСП каждый квант структуры определяется своим именем, упорядоченным множеством входов и множеством выходов.
2. Типы квантов структуры.
Из анализа выражения (1) видно, что в S можно выделить четыре типа КС характеризующихся наличием или отсутствием входных и выходных связей.
Первый тип. КС, не имеющие ни входов, ни выходов, будем называть пустыми или нуль-квантами. Подмножество нуль-квантов в S будем обозначать как N(S).
Второй тип. КС, имеющие только выходы, образуют в S подмножество B. Элементы B будем называть базовыми КС, а само подмножество B базой КСП и обозначать как B(S). Будем говорить, что S построено над B или порождено B.
Третий тип. КС, имеющие как входы, так и выходы, будем называть внутренними или полными КС, а их подмножество обозначать как D(S).
Четвертый тип. КС, имеющие только входы, будем называть вершинами КСП, а их подмножество обозначать как W(S).
3. Функции и операции над КСП.
Каждый КС характеризуется количеством входных и выходных связей. Количество входов или выходов КС si , как принято в теории множеств, будем обозначать как card Ii и card Oi соответственно.
Модифицированные в процессе вычислений значения будем обозначать знаком тильда ( ` ) в качестве верхнего индекса соответствующей переменной.
КСП S будем называть полным, если выполняется следующее условие:
card W(S) = 1 (2)
В полном КСП существует одна и только одна вершина.
Расширим понятие базы следующим образом. В отличие от базы КСП B(S) относительной базой B будем называть любое заданное подмножество:
B = {si } , где все si =>S.
Функция конвергенции КС.
Пусть дано КСП S элементов (si / Ii / Oi). Определим на S функцию конвергенции КС как:
con(si) = card Ii (3)
Областью определения функции является все множество целых неотрицательных чисел.
Функция дивергенции КС.
Аналогично определим функцию дивергенции КС как:
div(si) = card Oi (4)
Область определения данной функции все тоже множество целых неотрицательных чисел.
Функция КС-вероятности КС.
Определим функцию КС-вероятности как функцию обратную по отношению к функции div(si):
qsp(si) = 0 , если div(si) = 0 (равно нулю) (5)
qsp(si) = 1/div(si), если div(s) =/ 0 (не равно нулю)
Областью определения данной функции является множество всех неотрицательных действительных чисел.
Можно утверждать, что функция (5) численно выражает меру неопределенности (КС-вероятности) при выборе пути на графе КСП из вершины si; или характеризует степень принадлежности данного кванта структуры к каждому из порожденных им КС потомков; или характеризует силу (потенциал) связи между элементами КСП родителями и потомками.
Функция текущего состояния КС.
Введем в рассмотрение также некоторую (смысл наименования функции будет ясен из дальнейшего изложения) функцию act(si) , которую определим следующим образом:
act(si) = sum[act(sj) * div(sj)], суммировать по всем sj => Ii ,
где sum[] - оператор суммирования
* - оператор арифметического умножения
Область определения функции множество положительных действительных чисел.
Значение функции act(si) будем называть текущим состоянием КС si, а множество состояний всех КС текущим состоянием КСП и обозначать как act(S).
Прямое бинарное КС-преобразование (бинарная КС-свертка).
Пусть задано КСП S. Для любой пары si , sj из S определим прямое бинарное КС-преобразование следующим образом:
si & sj = sk . (7)
где sk такой элемент , что Ik=<sisj> , если такового в S нет, то в S создается КС с описанием:
(sk/<sisj>/ <>).
В этом случае описания КС si и sj изменяются в соответствии с выражением:
Oi = Oi + sk ; Oj = Oj + sk ,
где + - операция добавдения элемента в конец цепочки.
& - знак операции КС-свертки (никакого отношения к логической операции И не имеет).
Прямое N-арное КС-преобразование (N-арная КС-свертка).
По аналогии с (7) определим N-арное прямое КС-преобразование. Для любых s1 ... sn из S прямое N-арное КС-преобразование:
s1 & ... & sn = sk (8)
Результатом операции является КС с именем sk такой, что Ik=<s1 ... sn> , если такового в S нет, он создается.
Обратное КС-преобразование (обратная линейная проекция).
Определим обратное КС-преобразование следующим образом. Пусть задано КСП S и его линейно-упорядоченное подмножество:
L=<s1 ...si ...sn>.
Тогда обратное КС-преобразование или первую обратную линейную проекцию L определим как:
L1 (L) = L1(<s1 ...si ... sn>) = <s1` ...si`...sn` >, (9)
где
si` = si , если si => B(S);
si` = Ii , если si => B(S).
Результатом обратного КС-преобразования является упорядоченное множество (цепь) родителей L. Если цепочка L состоит из одного КС si , то L1(si) есть обратное КС-преобразование КС si.
Соответственно n-ую обратную линейную проекцию определим как:
Ln(si) = L1(L1(...L1(si))), (10)
где операция L1(si) применяется n-раз.
Относительным обратным КС-преобразованием si относительно заданной базы B будем называть минимальную n-ю обратную линейную проекцию, удовлетворяющую условию:
LB(si) = Ln(si) , где все sj => Ln(si) => B или sj => Ln(si) => B(S) (11)
"LB" - запись обозначает: линейная проекция относительно базы В ; B читать как нижний индекс.
Полным обратным КС-преобразованием или полной обратной линейной проекцией КС si будем называть минимальную n-ю обратную линейную проекцию, удовлетворяющую условию:
LS(si) = Ln(si) , где все sj => LS(si) => B(S) (12)
"LS" - запись обозначает: линейная проекция относительно базы S ; S читать как нижний индекс.
Результатом полного обратного КС-преобразования является упорядоченная цепочка базовых прародителей данного КС.
В силу определения (9) для любого si => S существует одно и только одно значение LS(si).
Понятие уровня в КСП.
Относительным уровнем КС si в КСП S будем называть такое min чило n
UB(si) = n, при котором все sj => Ln(si) => B. (13)
КС sj(B будем называть КС-нулевого уровня относительно базы B.
Абсолютным уровнем КС si будем называть такое min чило n, что:
US(si) = n , при котором все sj =>Ln(si) => B(S). (14)
КС sj => B(S) будем называть КС-нулевого уровня КСП S.
Уровнем КСП U(S) будем называть max из абсолютных уровней КС si => S.
Линейное равенство и эквивалентность в КСП.
Введем понятие линейного равенства КС. Пусть заданы S1 и S2 построенные над базой B
и si => S1 и sj =>S2 .
Тогда
si =B sj , если LB(si) = LB(sj) (15)
"=B" - запись обозначает: линейно-равно относительно базы B.
То есть два КС линейно-равны относительно B тогда и только тогда, когда они имеет равные полные обратные КС-преобразования.
Будем говорить, что S1 линейно-эквивалентно S2 относительно базы B, если для любого si => S1 в S2 существует такой sj => S2, что si =B sj и будем записывать это как:
S1 =>B S2. (16)
" =>B " - запись обозначает: линейно-эквиваленто относительно базы В
Будем говорить , что два КСП линейно-равны, если выполняются следующие условие:
S1 =>B S2 и S2 =>B S1. (17)
Записывать равенство будем как S1 =B S2.
"=B" - запись обозначает: линейно-равно относительно базы В.
Таким образом, по определению два КСП S1 и S2 линейно-равны относительно базы B тогда и только тогда, когда все КС из S1 или S2 имеют равные полные обратные КС-преобразования в другом КСП относительно заданной базы.
Можно показать что, для любого КСП S1 такого, что некоторые si => S1 имеют con(si) > 2 существует линейно-эквивалентное КСП S2 такое, что все si => S2 имеют con(si) <= 2 (меньше или равно).
Такое КСП будем называть бинарным.
Какое отношение вся эта арифметика имеет к проблемам сознания, восприятия, мышления, информации и машинам мы рассмотрим в последующих лекциях.
Напоследок рассмотрим один простой пример. Предположим, что в нашем Мире у нас есть два некоторых объекта A и B из которых, мы хотим, объединив их, построить новый объект С. Такие вот абстрактные кирпичи. Сказано - сделано. Зададим себе вопрос: Что изменилось в нашем Мире?
Предлагается два варианта ответа:
1) Появился новый объект C и все.
2) Появился новый объект С. Изменились свойства объектов А и В. Изменились свойства всех ранне созданных объектов, в состав которых входят А или В. В некотором смысле изменился весь Мир. Вот теперь все.
Правильный ответ 2. Почему - смотри выше.
До встречи.
Виктор Свиридов.