Princìpi

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La Matematica non è una Scienza Esatta. A parte il fatto che le scienze esatte, intese come infallibili discipline alla ricerca della verità non esistono, la matematica non è neppure una scienza, ma una filosofia. Essa infatti altro non è che una disciplina della logica che, a partire da assiomi assunti, ma non dimostrabili, permette di costruire una struttura coerente ed elegante.

Bertrand Russel definisce la matematica pura come

...l'insieme di tutte le proposizioni della forma «p implica q», dove p e q sono proposizioni che contengono una o più variabili, né p né q contenendo costanti che non siano costanti logiche.

Fintanto che condividono la definizione suddetta, possono essere create tante matematiche quante sono le combinazioni di assiomi si possono scegliere.

La matematica così come la conosciamo noi si basa su dieci assiomi:

1. Se p implica q, allora p implica q, cioè «p implica q» è una proposizione
2. Se p implica q, allora p implica p, cioè p è una proposizione
3. Se p implica q, allora q implica q, cioè q è una proposizione
4. Una ipotesi vera in una implicazione può essere tralasciata, e la conseguenza affermata
5. Se p implica p e q implica q, allora pq implica p
6. Se p implica q e q implica r, allora p implica r
7. Se q implica q e r implica r, e se p implica che q implichi r, allora pq implica r
8. Se p implica p e q implica q, allora, se pq implica r, allora p implica che q implica r
9. Se p implica q e p implica r, allora p implica qr
10. Se p implica p e q implica q, allora «"p implica q" implica p» implica p

L'assioma 5 si chiama semplificazione, il 6 si chiama sillogismo, il 7 importazione, l'8 esportazione, il 9 composizione, ed il 10 riduzione.

La frase «p implica q» significa che se p è vera allora anche q è vera e che se q è falsa p è falsa. Il che vuol dire che p e q possono essere entrambe false o vere, oppure che p è falsa e q è vera, ma non che p è vera e q è falsa.