Kisah Seekor Unta Yang Hilang

Cerita ini memerlukan sedikit daya tumpuan kerana melibatkan sedikit pengiraan matematik. Harap anda menggemarinya. Kredit kepada Ian Stewart, Scientific American June 1992. Terjemahan secara bebas dan tiada copyright control oleh saya. Mana-mana istilah yang kurang tepat dan lain-lain komen, sila betulkan dengan cara e-mail cikguji@hotmail.com

Syukur Alhamdulillah, ketua Kafilah Badwi itu , Mustapha ibn Mokhtar telah berjaya memimpin pasukan pejuang kafilahnya untuk mengekang serangan kafilah musuh yang hebat itu dengan cemerlang. Akan tetapi, malang sungguh kerana Mustapha sendiri telah mengalami kecederaan yang serius dan telah jatuh pengsan kerana lukanya yang amat parah itu. Mujurlah, sahabat karibnya, Ali si Tukang Gunting telah berjaya mencuci dan membalut luka Mustapha yang telah mengeluarkan banyak darah itu dan membawa Mustapha berbatu-batu melintasi kawasan gurun Arab Utara itu untuk pulang ke kawasan perkhemahan kafilah mereka. Pun begitu, keadaan kecederaan Mustapha itu memang sudah tidak dapat dipulihkan lagi.

Sebaik sahaja terjaga dari pengsannya, Mustapha mendapati dirinya dikelilingi oleh isteri-isterinya, anak-anak lelaki dan perempuannya, dan juga cucu-cucunya. "Segala pujian hanya bagi Allah! Aku masih hidup! Tetapi aku masih perlu berjuang." Dia cuba bangun tetapi tidak berdaya, hanya yang termampu dilakukannya ialah mengangkat kepalanya sahaja.

"Silalah berehat, wahai suamiku Mustapha Yang Mulia," rayu isterinya yang pertama dan menghulurkan air dalam bekas kulit kambing untuk suaminya itu."Tuan telah mengetuai kafilah tuan dalam satu pertempuran yang hebat dan berjaya mencapai kemenangan yang gemilang. Bagaimana keadaan tuan?"

"Rasanya macam telah dipijak oleh seribu unta," Mustapha menjawab. "Siapa yang menyelamatkan aku?"

"Ali si Tukang Gunting," jawab isteri pertamanya itu.

"Bawa dia ke mari cepat." Anak lelakinya yang pertama segera bergegas memanggil Ali, dan keluarganya yang lain bersurai meninggalkan Mustapha berehat dengan aman di dalam khemahnya.

Ali seperti biasa sedang sibuk menggunting janggut para badwi yang lain dan tertanya-tanya siapa pula yang harus disuruh mengguntingkan janggutnya. Bila dia mendengar yang Mustapha telah sedar dari pengsannya, dia berlari untuk berjumpa dengan sahabatnya itu.

Ali memasuki khemah Mustapha. "Assalamualaikum. Kau nampak beransur pulih"

"Waalaikumussalam. Terimakasih kepada kau dan Allah , aku masih berpeluang bertemu dengan keluargaku lagi. Tetapi, tubuhku sudah cedera yang tak boleh disembuhkan lagi, dan aku yakin aku akan mati tidak lama lagi."

Mustapha berkata sambil mengangkat tangannnya tanda tidak bersetuju dengan protes yang cuba dimulakan sahabatnya itu.

"Kau tidak perlu berpura-pura, Ali. Aku mahu membincangkan bagaimana harus aku bahagikan hartaku di kalangan tiga anak lelakiku. Aku memang amat menyayangi mereka, tetapi mereka agak kurang pintar. Bagi aku, kalau mereka nak mewarisi hartaku, mereka harus membuktikan daya intelektual mereka."

Ali tampak keliru. "Aku tak faham, Mustapha."

"Di antara hartaku adalah satu cerita arithmetik purba yang dikatakan diwarisi turun-temurun dari Al-Khowarizmi sendiri.Cerita itu mengisahkan seorang saudagar kaya yang mempunyai 17 ekor unta. Dia telah membuat wasiat mengatakan yang unta-unta itu hanya boleh dibahagikan secara anak sulungnya mewarisi satu perdua dari jumlah semua unta itu, anak keduanya mewarisi satu per tiga dan anak ketiganya satu per sembilan."

"Aku masih ingat masalah itu. Memang tidak lojik untuk memberi anak sulung itu lapan setengah ekor unta!"

"Anak keduapun tidak mungkin dapat memiliki satu dan lapan per sembilan ekor unta. Tetapi ada satu penyelesaian yang mudah dan indah untuk menangani masalah itu".

"Ya, aku masih belum lupa lagi. Seorang bijaksana telah membawa seekor unta tambahan, menjadikan jumlah unta menjadi 18 ekor. Anak yang sulung mewarisi satu perdua iaitu sembilan ekor, anak kedua mewarisi satu per tiga ataupun enam ekor, dan yang bongsu mewarisi satu persembilan, iaitu dua ekor unta. Semua nombor itu dicampur menjadi 17, dan orang bijaksana itu telah mengambil balik untanya. Semua orang berpuas hati dengan penyelesaian itu."

"Ya, tapi mungkinkah semua orang dah berpuas hati? Begitu mengkagumkan cerita itu wahai Ali sahabatku, dan pengiraan matematik yang tersirat di dalamnya begitu mempersonakan."

"Tetapi, Mustapha, kau mempunyai lebih dari 17 ekor unta."

"Memang. Allah telah mengurniakan aku 39 ekor unta. Dan lagi, aku telah berjanji dengan arwah orang tuaku dahulu yang tidak akan menjual walau seekorpun. Jadi, tidaklah mungkin untuk menjualkan semua unta-unta itu sehingga jumlahnya 17 ekor. Memang tidak susah untuk membeli beberapa ekor unta lagi untuk menambahkan bilangannya kalau terpaksa. Soalan yang ada di fikiranku sekarang adalah adakah koleksi nombor yang lain yang akan menghasilkan episod menakjubkan yang sama."

"Kau boleh tiga kali gandakan semua nombor itu," kata Ali. "Mula-mula gunakan 51 ekor unta, kemudian pembahagiannya pun digandakan tiga kali."

Mustapha mengangguk lagi dan wajahnya berkerut menahan kesakitan. "Aku dah fikirkan kemungkinan itu, Ali. Nanti, kau kena tambahkan tiga ekor unta. Ianya tidak indah. Tidak elegant ".

Ali menggosok-gosok janggutnya. "Jadi, soalannya ialah, dalam koleksi nombor apakan cerita unta ini akan menghasilkan kombinasi pecahan yang sama?"

"Ya. Aku sedang merancang ingin memberikan setiap anakku dengan beberapa pecahan yang akan menyebabkan mereka mesti menambah hanya SEEKOR unta, dan kemudian mengembalikannya semula unta yang seekor itu setelah selesai pembahagian unta-unta yang lain."

Ali bersandar di dinding khemah dan tersenyum. "Sahabatku Mustapha, nombor memang selalu menjadi salah satu kekuatanku. Aku rasa _" Dia mendongak ke bumbung khemah beberapa ketika. "MasyaAllah, memang ada jalannya. Tetapi kita mesti mengkaji bagaimana helah yang mula-mula itu telah dilakukan."

Mustapha menggaru-garu kepalanya. "Aku mengaku yang aku memang tak dapat mencari rahsia helah itu. Unta seekor yang penting itu datang dan hilang macam jin dari lampu ajaib."

"Ini mesti kerana kemahiran menggunakan dan memilih pecahan, " Ali berkata. "Contohnya, kalaulah jumlah unta itu adalah 12 ekor, dan anak pertama mendapat satu perdua, anak kedua mendapat satu per tiga dan anak ketiga mendapat satu per enam, maka yang sulung akan mendapat enam ekor, yang kedua empat ekor, dan yang bongsu mendapat dua ekor. Tak perlu lagi menambahkan seekor lagi unta.......Aha! Aku rasa aku dah dapat ilham, sahabatku. Ketiga-tiga pecahan itu tidak mungkin jumlahnya satu. Kalau jumlahnya satu, sudah tentu helah ini tidak akan dapat dilakukan --- sebab semua unta-unta itu akan dapat dibahagikan tanpa sebarang baki. Mm.. nanti. Apakah jumlah 1/2 + 1/3 + 1/9?

"Ah, 17/18," sahut Mustapha."Sudah semestinya! Anak-anak lelaki itu cuma mewarisi 17/18 daripada jumlah unta. Kalau jumlah unta itu 17, sudah tentu mereka tidak akan dapat membahagikan unta itu dengan tepat. Tetapi, bila jumlahnya 18 ekor, setiap anak lelaki akan mengambil sebahagian daripada 18 itu dan satu ekor akan berbaki." Tiba-tiba satu fikiran muncul di benaknya. "Orang tua itu bukannya pandai sangat, kan? Dia tak pernah memberitahu orang lain yang jumlah pecahannya itu bukannya satu!"

"Tetapi, itulah ciri kebijaksanaan yang sebenar, sahabatku!" Ali membangkang."Helah itu berlaku kerana jumlah pecahan yang diberikan kepada setiap anaknya mempunyai jumlah penyebut yang lebih satu dari jumlah pengangkanya", Ali berkata lagi. "Dalam kes ini jumlah pengangkanya ialah 17 dan penyebutnya adalah 18". Dia tersenyum lebar sambil berkata lagi."Banyak pecahan yang berbentuk begitu! Bagi mana-mana nombor bulat d, pecahan itu akan berbentuk (d-1)/d... Aku dah dapat! Kau ada 39 ekor unta kan?"

"Ya."

"Jadi, apa yang kita perlukan hanyalah memilih pecahan yang jumlahnya 39/40," Ali berkata. "Contohnya, 1/2, 1/4 dan 9/40." Dia beralih dan tersenyum puas kerana memikirkan telah berjaya menyelesaikan masaalah itu. Tetapi senyumnya terhenti di situ. "Kau nampak tidak puas hati, Mustapha."

"Ianya tidak indah, Ali. Setiap pecahan itu mestilah satu per satu nombor; satu per tiga atau satu per sembilan belas. Bukan macam yang kau cadangkan tu. Bukan sembilan per empat puluh."

"Jadi, kau perlukan satu sebagai pengangka."

"Tepat sekali."

"Kalau macam tu, secara ringkasnya, kau perlukan penyelesaian dalam nombor bulat untuk persamaan 1/a + 1/b + 1/c = (d-1)/d. Yang bermaksud, nombor (d-1)/d mestilah boleh diwakilkan dengan tiga pecahan reciprocal. Orang Mesir selalu menulis pecahan dalam bentuk jumlah reciprocal. Jadi, campuran 1/a, 1/b dan 1/c dipanggil Tiga Term Pecahan Mesir."

"Aku dah dapat cara untuk memudahkan pecahan yang kau perlukan tu." Kata Ali. Dia menulis persamaan berikut:

1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1.

Ali kelihatan begita gembira. "Jadi, kalau a adalah 2, b adalah 3 dan c adalah 9, d mestilah menjadi 18 kerana 1/2 + 1/6 + 1/9 + 1/18 = 1. Dan sekarang, apa yang kita perlu lakukan hanyalah mencari penyelesaian-penyelesaian bagi persamaan Empat Term Pecahan Mesir. Yang bermakna, kita harus mencari empat nombor yang reciprocal mereka berjumlah 1."

Mustapha mengerutkan keningnya lagi. "Aku pun boleh memberi satu penyelesaian." Dia berkata. "Jawapan aku 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 =1. Sekarang, macam mana?"

"Kita harus mencari semua penyelesaian yang mungkin untuk persamaan kau tu." Ali mencapai sehelai kulit unta untuk menulis. "Ianya memerlukan perhatian yang teliti, kerana kita sedang berhadapan dengan apa yang dipanggil ahli matematik Persamaan Diophantine, yang mana penyelesaiannya mestilah menggunakan nombor bulat sahaja. Dalam kes ini, nombor-nombor bulat yang positif sahaja. Persamaan begini telah dibincangkan oleh Diophantus dari Alexandria sekitar abad ketiga Masehi!"

Mustapha cuba mengalihkan kedudukan baringannya untuk mengurangkan kesakitan pada tulang rusuknya yang telah patah dan remuk itu."Tidakkah kau terlalu berlebih sangat, Ali, untuk mencari semua penyelesaian yang mungkin? Mungkin ada terlalu banyak penyelesaiannya?"

"Selalunya, persamaan Diophantine tidak banyak penyelesaiannya,"Ali menjawab "Walaubagaimanapun ada kes-kes yang terkecuali, dan dalam kes ini.."

Dia mula menulis di atas kulit itu. "Aku percaya, kita boleh membuktikan bahawa penyelesaian kepada persamaan ini finit bilangannya. Dan lagi, bukti ini memudahkan kita mencari penyelesaian-penyelesaian itu dengan cara yang sistematik. Katakan, nombor-nombor itu disusun mengikut saiz, maka a<=b ( a lebih kecil dan sama dengan b) dan b<=c<=d. Jadi, a akan jadi paling banyak pun 4. Kalau a jadi 5 atau lebih, b, c, dan d akan menjadi lebih dari 5. Jumlah reciprocal mereka tak akan menjadi 1 dan akan menjadi lebih kecil atau sama dengan 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5, atau 4/5."

Mustapha memandang muka Ali. "Adakah itu akan menolong?"

"Sudah semestinya. Kita tahu bahawa semua nombor-nombor ini mestilah sekurang-kurangnya 2. Kalau tidak, pecahan ini akan bermula dengan 1/1, yang mana sudahpun 1. Jadi bagi a, hanya ada tiga kemungkinan: a bersamaan dengan 2, 3, dan 4. Dalam kes yang pertama, a = 2, persamaan itu menjadi 1/2 + 1/b + 1/c + 1/d = 1." Dia menulis persamaan itu dan menulis untuk tiga kes. Bila a = 2, jumlah reciprocal b, c dan d adalah 1/2, bermakna 1/b + 1/c + 1/d = 1/2. Bila a = 3, jumlahnya adalah 2/3, dan bila a = 4, jumlahnya adalah 3/4."

Mustapha nampak keliru. " Tetapi, Ali, apa yang kau lakukan adalah menggantikan satu persamaan dengan tiga persamaan!"

"Ya, Mustapha - tapi setiap satu sekarang hanya ada tiga pembolehubah, bukan empat! Dan lagi, aku akan dapat mengulang cara yang sama bagi setiap persamaan. Sebagai contoh, bagi 1/b + 1/c + 1/d = 1/2. Memang jelas bahawa nombor yang kedua terkecil, b, mesti tidak lebih dari 6. Kalau tidak, jumlah pecahan itu akan menjadi 1/7 + 1/7 + 1/7 = 3/7, yang mana lebih kecil dari 1/2. Dengan cara yang sama dengan tadi, kalau ketiga-tiga reciprocal itu berjumlah 2/3, b paling banyak pun 4; bagi jumlah 3/4, b juga tak boleh lebih dari 4. Jadi bagi ketiga-tiga kes ini, bagi nombor a = 2 akan melahirkan beberapa kemungkinan b."

"Kemudian," Mustapha nampak gembira,"kau akan gunakan cara yang sama lagi?"

"Ya. Aku dah kata tadi, kalau 1/b + 1/c + 1/d = 1/2, b paling banyak ialah 6. Dalam kes a = 2, b mestilah sekurang-kurangnya 3. Jadi, 1/2 + 1/3 + 1/c + 1/d = 1. Itu bermakna 1/c + 1/d = 1/6.

"Yang mana," Mustapha menyambung,"kita boleh membuat kesimpulan bahawa c paling banyak pun 12, kerana 1/13 + 1/13 = 2/13, yang lebih kecil dari 1/6."

"Tepat sekali. Dan kita cuma ada kemungkinan yang finit untuk c, maka d akan mempunyai nilai yang unik yang boleh dikira dengan tepat. Sebagai contoh, kalau a = 2, b = 3, c = 11, d mesti memenuhi persamaan 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/d = 1, yang menyebabkan nilai d menjadi 66/5. Itu bukan penyelesaian kerana ianya bukan nombor bulat. Tetapi, kalau a = 2, b = 3, dan c = 10, d akan menjadi 15. Kali ini, penyelesaian itu tepat kerana ia adalah nombor bulat. Secara umumnya,kalau d diperlukan supaya terdiri dari nombor bulat, kita akan dapat nombor bulat sebagai penyelesaian bagi d kalau kita memilih c yang betul. Kalau tidak, mustahil kita akan mendapat nombor bulat bagi d."

"Dan lagi, penyelesaian yang sama boleh digunakan bagi semua persamaan yang berbentuk 1/a + 1/b + ...1/z = p/q, di mana a, b, ..., z, p, dan q adalah nombor bulat yang positif. Hanya ada cara yang finit untuk menulis persamaan yang melambangkan pecahan Mesir. Peneyelesaiannya boleh didapati dengan cara deduksi yang mudah."

Mustapha terbatuk, dan muntah darah. Dirinya nampak begitu lemah. Dia berkata perlahan-lahan. "Kau telah berjaya membuktikan satu teorem yang asas, Ali."

"Ya. Sekarang, berikan aku sedikit masa untuk mengira setiap kemungkinan jawapan untuk persamaan kau, Mustapha." Ali terus menulis di permukaan kulit itu dengan pantas(Tengok penyelesaian di bawah)."Ha! Aku telah mendapat 14 penyelesaian yang berbeza."

"Dan sekarang, jawapan kepada soalan kau telah berada di hadapan mata kita," Ali berkata dan menunjuk. "Jawapan yang pertama di dalam senarai ini adalah 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1. Mustapha, kalau kau memiliki 41 ekor unta, kau boleh mewasiatkan anak pertama kau mendapat 1/2 dari kafilah unta itu, anak kedua kau 1/3 dan anak bongsu kau 1/7. Jadi, kalau kau ditakdirkan meninggal dunia, mereka harus mencari unta yang ke 42 untuk memenuhi wasiat kau. Dan anak sulung akan memperolehi 21 ekor unta, anak kedua 14 ekor dan anak ketiga 6 ekor."

Dalam nazak, Mustapha menggenggam tangan si Tukang Gunting itu dan tersenyum. Keningnya berkerut menahan kesakitan. "Ali, Allah telah memperkenankan doaku, kau telah menolongku. Sekarang, aku cuma perlu membeli dua ekor unta lagi. Tolong uruskan urusan pembelian serta merta..."

Tiba-tiba terdengar kekecohan di luar khemah. Secara tergesa-gesa, seorang budak lelaki bergegas memasuki khemah Mustapha. "Ya, Hamid? Adakah ini kebiasaanmu memasuki khemah ketua Kafilah tanpa adab sopan?"

"Maafkan saya, tuan Mustapha ibn Mokhtar. Isteri ketiga tuan, Fatimah, telah melahirkan seorang anak lelaki untuk tuan! Anak lelaki keempat tuan!"

-FINISHED-

14 Penyelesaian bagi Persamaan Mustapha....

1) 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1

2) 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 = 1

3) 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1 

3) 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15 = 1 

5) 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/12 = 1

6) 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 = 1

7) 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1

8) 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1

9) 1/2 + 1/5 + 1/5 + 1/10 = 1

10) 1/2 + 1/6 + 1/6 + 1/6= 1

11) 1/3 + 1/4+ 1/6 + 1/12 = 1

12) 1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 = 1

13) 1/3 + 1/4 + 1/4 + 1/6 = 1

14) 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1