CONCOURS GENERAL 1992

Exercice I

On dit qu'une partie non vide D du plan P est convexe si elle possède la propriété suivante :

Soit D une partie convexe du plan P. Si A est un point de P, à tout couple ( M,N) de points de D on associe le point m défini par

1. 1. Montrer que d_A( D) admet un centre de symétrie.

   2. A quelle condition a-t-on d_A( D) = D ?

   3. Soient B et C deux points du plan P. Par quelle transformation passe-t-on de d_B( D) à d_C( D) ?

2. Soit A un point du plan P. Déterminer et représenter d_A( D) lorsque :
   1. D est une bande du plan P délimitée par deux droites parallèles.

   2. D est délimitée par un triangle.

   3. D est un demi-disque.

3. Montrer que dans les deux cas 2.b) et 2.c), les contours de D et d_A( D) ont la même longueur.

Exercice II

Soit ( C) un cercle du plan de rayon 1.

1. Déterminer les triangles ABC inscrits dans le cercle (C) pour lesquels la somme

   AB2+BC2+CA2

   est maximale.

2. Déterminer les quadrilatères ABCD inscrits dans le cercle ( C) pour lesquels la somme

   AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2

   est maximale. Représenter un tel quadrilatère.

Exercice III

Soit ABCD un tétraèdre inscrit dans une sphère de centre O. On note G l'isobarycentre des quatre sommets du tétraèdre et I le centre de la sphère inscrite dans le tétraèdre. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

1. Les deux points O et G sont confondus.

2. Les quatre faces du tétraèdre sont isométriques.

3. Les deux points O et I sont confondus.

Exercice IV

Soit ( u_n) la suite numérique définie par la donnée de ses deux premiers termes u₀ et u₁, 0 < u₀ < 1 et 0 < u₁ < 1, et la relation de récurrence :

1. Montrer que la suite ( u_n) est convergente et déterminer sa limite.

2. Montrer qu'à partir d'un certain rang n₀, la suite (u_n) est monotone ( on ne demande pas de déterminer n₀ qui dépend des valeurs initiales u₀ et u₁. )

Exercice V

Quel est le chiffre des unités du plus grand nombre entier inférieur ou égal à [(10¹⁹⁹²)/( 10⁸³+7)] ?