CONCOURS GENERAL 1994

Exercice I

Pour tout entier naturel n, on note In le nombre d'entiers p pour lesquels

50n < 7p < 50n+1

  1. Démontrer que pour tout entier n, In vaut 2 ou 3.

  2. Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers n pour lesquels In vaut 3 et donner le plus petit d'entre eux.

Exercice II

Soit S une demi-sphère et P le plan contenant son cercle de base. Un plan variable Q, parallèle à un plan fixe non perpendiculaire à P, coupe S suivant un cercle C. On désigne par C¢ le projeté orthogonal de C sur P.
Comment doit-on placer le plan Q pour que le cylindre de bases C et C¢ ait un volume maximal ?

Exercice III

On définit une application f de N* dans N par f( 1) = 0 et pour tout élément n de N* :

f( 2n) = 2f( n) +1       f( 2n+1) = 2f(n)
Etant donné un entier strictement positif p quelconque, on pose u0 = p et, tant que uk appartient à N*,
uk+1 = f( uk)

  1. Montrer que, pour tout choix de p, il existe un unique entier v( p) tel que uv(p) = 0.

    1. Calculer v( 1994) . Quel est le plus petit entier p tel que v( p) = v( 1994) ?

    2. Etant donné un entier N, déterminer le plus petit entier p tel que v( p) = N.

Exercice IV

Soit ABC un triangle. Si P est un point de son plan, on note L, M, N les projetés orthogonaux de P respectivement sur les droites (BC) , ( CA) et ( AB) . Déterminer le point P pour lequel la quantité

BL2+CM2+AN2
est minimale.

Exercice V

Soit f une application de N dans N telle que f(1) > 0 et, quels que soient les entiers naturels m et n, on a :

f( m2+n2) = [ f( m) ] 2+[ f(n) ] 2

  1. Calculer f( k) pour 0 £ k £ 12.

  2. Calculer f( n) , n étant un entier quelconque.

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On 13 Dec 1999, 21:52. 1