CONCOURS GENERAL 1995

Exercice I

Dans un plan P, on se donne un triangle ABC. A toute droite D, non parallèle à l'un de ses côtés, on associe le point G_D, isobarycentre des trois points communs à D et aux droites (AB) , ( BC) et ( CA) .
L'objet de cet exercice est de déterminer l'ensemble F des points G_D lorsque D varie.

1. Démontrer, que lorsque D se déplace en restant parallèle à une droite d, le point G_D décrit une droite D_d.

2. On suppose, dans cette question seulement, ABC équilatéral. Montrer que, lorsque d varie, les droites D_d sont toutes tangentes à un même cercle et déterminer l'ensemble F dans ce cas.

3. On revient au cas général. Montrer que l'on peut trouver un triangle équilatéral A^¢B^¢C^¢ de l'espace dont le projeté orthogonal sur le plan P est le triangle ABC et en déduire l'ensemble F.

Exercice II

Etudier la convergence de la suite ( u_n) _{n Î N} définie par u₀ ³ 0 et pour tout n dans N :

Exercice III

Dans le plan, on considère G₁, G₂ et G₃ trois cercles de rayon R passant par le point O, et on note D l'ensemble des points du plan intérieurs à au moins deux de ces cercles.
Comment doit-on placer G₁, G₂ et G₃ pour que l'aire de D soit minimale ? Justifier votre réponse.

Exercice IV

Soient A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃ six points du plan tels que l'on ait pour tous les entiers i et j de {1,2,3}