CONCOURS GÉNÉRAL 1998

Exercice 1

Un tétraèdre ABCD vérifie les conditions suivantes :

1. les arêtes AB, AC et AD sont deux à deux orthogonales
2. AB = 3 et CD = Ö2.

Déterminer la valeur minimale de BC⁶+BD⁶-AC⁶-AD⁶.

Exercice 2

Soit (u_n)_{n Î N} une suite réelle vérifiant, pour tout entier n, la relation :

Montrer qu'il existe un entier p non nul, tel que la relation u_n = u_n+p ait lieu pour tout entier naturel n.

Exercice 3

Pour tout réel x on note E(x), le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Soit k un entier fixé, supérieur ou égal à 2. On considère la fonction f de N dans N définie par :

Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la fonction f.

Exercice 4

On considère deux droites D₁ et D₂ sécantes en O, et un point M n'appartenant à aucune de ces deux droites. On considère deux points variables, A sur D₁ et B sur D₂, tels que le point M appartienne au segment [A,B].

• Montrer qu'il existe une position des points A et B pour laquelle l'aire du triangle OAB est minimale. Construire les points A et B ainsi déterminés.
• Montrer qu'il existe une position des points A et B pour laquelle le périmètre du triangle OAB est minimal et qu'on a alors l'égalité des périmètres des triangles OAM et OBM, ainsi que la relation :

  AM tan ^ OAM   2 = BM tan ^ OBM   2

  Construire les point A et B ainsi déterminés.

Exercice 5

Soit n un entier supérieur ou égal à 3. On considère un ensemble A de n points du plan, cet ensemble ne contenant pas trois points alignés.

Montrer qu'il existe un ensemble S de 2n-5 points du plan tel que pour tout triangle dont les sommets sont des points de A il existe au moins un point de S qui lui soit strictement intérieur.