CONCOURS GENERAL 1999

Exercice I

Qu'est le volume maximum d'un cylindre, ayant même axe de révolution qu'un cône donné et intérieur à ce cône ?
Quel est le volume maximum d'une boule, centrée sur cet axe et intérieure au cône ?
Comparer les deux maximuns trouvés.

Exercice II

Résoudre dans N l'équation en n :

(n+3)ⁿ =

n+2
å
k = 3

kⁿ

Exercice III

Pour quels triangles aux angles tous aigus le quotient du plus petit coté par le rayon du cercle inscrit est-il maximum ?

Exercice IV

Sur une table trônent 1 999 bonbons rouges et 6 661 bonbons jaunes rendus indiscernables par des emballages uniformes. Un gourmand applique jusqu'à épuisement du stock l'algorithme ci-desous :

S'il reste des bonbons, il en tire un au hasard, note sa couleur, le mange et va en b) ;
S'il reste des bonbons, il en tire un au hasard et note sa couleur :
- si elle est la même que celle du dernier bonbon avalé, il le mange et retourne en b),
- sinon, il le remmaillote,le pose et retourne en a).

Montrer que tous les bonbons seront mangés et donner la probabilité pour que le dernier bonbon mangé soit rouge.

Exercice V

Montrer que les symétriques de chaque sommet d'un triangle par rapport au coté opposé sont alignés si, et seulement si, la distance de l'orthocentre au centre du cercle circonscrit est égale à son diamètre.

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On 13 Dec 1999, 22:22.