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APENDICE 2.
LA "TERMODINAMICA DE LAS CURVAS"

La termodinámica clásica utiliza como ejemplo paradigmático el estudio de las propiedades estadísticas de los gases, sobre todo de las variables temperatura T, presión P, volumen (tridimensional) V y entropía S. Para gases perfectos, PV = RT. El propósito de este apéndice es buscar expresiones análogas para curvas en dos dimensiones x e y, en lugar de gases en tres.

Para el "espacio de curvas G bidimensionales en x,y" se toma un papel milimetrado, en el cual se le dará especial importancia al entramado de rectas ortogonales.

Un dado pedazo de serpentina (de ancho despreciable), de carnaval, de longitud L constante, puede ser "simple" si se la estira y "compleja" si se la deja que muestre gran cantidad de rulos. Todas las posibilidades intermedias pertenecen a la familia de curvas G. Para las curvas que van de lo simple a lo complejo, se pueden generar polinomios de creciente número de sumandos, cada uno de los cuales con un creciente exponente o grado para x, como se ha visto en las ec. previas a la (3) del texto. O mejor aún, trazar a mano levantada curvas G como la enrulada de la Fig. 1 en dos dimensiones. Ella será tanto más compleja cuanto más rulos se le incorporen. El dibujante estará cada vez más desinformado a priori acerca de cuáles parámetros caracterizan su obra, con cada rulo adicional agregado manteniendo el largo L de la curva invariable.

Sea G una curva de longitud finita L trazada en el papel milimetrado. Se elige una cualquiera de las rectas del papel milimetrado y se cuentan las intersecciones nk entre la curva G y esa recta. Se descartan las zonas en que por azar ambas se superpongan durante un cierto tramo. En termodinámica y en teoría de la información la entropía de un sistema, o la incertidumbre acerca de la naturaleza de la situación, se define como

 
                 -(p1.log p1 +p2.log p2 +p3.log p3 + ...)

siendo pn la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado n. En el caso de curvas G, se toma ahora pn como la probabilidad de que la recta elegida intersecte n veces a la curva, con lo que pk es la probabilidad de que n = nk. Por regla de L'Hopital, pk.log pk vale cero si pk es nulo. Si p1 vale 1 y todo el resto vale cero, la entropía vale 0 y hay certidumbre. Los logaritmos se pueden tomar en cualquier base arbitraria. En la Fig 1 se estudia el estado 5 para la vertical y el estado 2 para la horizontal.

Si la envolvente H, que es no-negativa, tiende a cero, la curva G se comprime en un rollo cada vez más enrulado; y si se va ampliando H implica que la curva G se estira y descomprime. Esta operación tiene un límite, que aparece con la "curva G" rectificada, con envolvente mínima igual al doble de su largo. Como L y H se miden en longitudes, resulta que el adimensional L/H oscila entre 1/2 e infinito.

En la Fig 27 se han tomado sólo dos rectas coordenadas, una horizontal con 2 intersecciones y otra vertical con 5, entre las infinitas coordenadas. Las intersecciones nk se consideran como la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado n. Así, la entropía del sistema de curvas G se cuantifica, para el caso de la Fig 27, como

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y !
. !                                          ESTADO 2
. !                                          (1' Y 2' SON INTERSECCIONES)
. !
. !                                          ENVOLVENTE CONVEXA H
  !.
. !                                          
  !.
  !.
. !
. !                ESTADO 5 (1,2,3,4 Y 5 SON INTERSECCIONES)                     
. !______________________________________________________________x

Fig 27 - Curva G de largo L dado y mínima envolvente convexa H, cuya entropía o complejidad se mide a partir de la frecuencia de los diferentes estados.

---

 - (p0.log p0 + p1.log p1 +p2.log p2 +p3.log p3 + p4.log p4 + p5.log p5)

siendo pn la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado n. En la Fig 27 se observa graficada una probabilidad de 0,5 de que el sistema se halla en el estado 2 y otro tanto en el estado 5.

 
- (p0.log p0 + p1.log p1 +0,5.log 0.5 +p3.log p3 + p4.log p4 +0,5.log 0,5)

Cuatro sumandos del polinomio valen cero. Nótese que el análisis se ha hecho dentro del rango visualizado por la Fig 27, o sea con n entre 0 y 5, ya que no hay seis o más intersecciones posibles. Ese análisis se debe continuar con suficientes coordenadas adicionales, no tan solo con una horizontal y otra vertical. El valor numérico de la entropía adimensional resultará mayor que cero, S > 0, para la curva G de la Fig 27. Si, en cambio, se tratara de una recta G, S = 0. Si p1 vale 1 y todo el resto vale cero, la entropía vale 0 y hay certidumbre. Para cada una de las K rectas que intersectan a la recta analizada, el estado n vale 1 y entonces 1.log 1 vale 0.

Partiendo de certidumbre o entropía nula para una G recta, la incertidumbre aumenta con el número de rulos. La entropía de curvas progresivamente complejas es más y más positiva. Un polinomio de grado g tiende a una entropía dintel de 1 + log g. Esta entropía es una medida natural de la complejidad de la curva. Así la entropía o complejidad de una curva, puede ser interpretada de modo libre como la cantidad de información a posteriori necesaria para especificarla, o el grado de desinformación a priori que posee quien la analiza.

Queda claro que para dar realidad a la expresión polinomial, el análisis se extiende a todas las K rectas existentes en el papel milimetrado. El resultado combinado dará la entropía o incertidumbre asociada con la curva G objeto de análisis.

La analogía con los gases indica que lo que es 1/H (la inversa de la envolvente convexa mínima) en las curvas G, es la presión P en los gases. Analogamente lo que es L (el largo) en las curvas G, es el volumen V de los gases. Entonces en las rectas G la presión decae con motivo de ser rectas, lo cual sucede con temperaturas absolutas cercanas a cero. En el caso de los rollos cada vez más enrulados, como PV = RT, la temperatura equivalente en el modelo de los gases tiende al infinito, única posibilidad para que en un volumen prefijado una cantidad fija de moles pueda llegar a presiones

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en el modelo de los gases tiende al infinito, única posibilidad para que en un volumen prefijado una cantidad fija de moles pueda llegar a presiones altísimas.

La termodinámica clásica define cierta inversa de la temperatura, beta, que, readapatada para rectas y curvas G en un espacio de dos dimensiones, es

beta = log [2L/ (2L - H)]

y que oscila entre 0 (extremadamente caliente) e infinito (temperatura nula).

En las rectas, 2L = H y beta vale infinito, que se asocia con su inversa, la temperatura absoluta adimensional nula, T = 0.

En el rollo de curvas con H = 0, beta = log (2L/2L) = 0, lo cual equivale a la máxima temperatura T factible.

Con estas definiciones adaptadas a las clásicas,

las rectas G son simples, ordenadas, antientrópicas, con escasa necesidad de información a posteriori para identificarlas, asociadas con un análisis previo con poco grado de desinformación a priori, al mismo tiempo "despresurizadas y frías", con H = Hmax y L/H tendiendo a 1/2, mientras que

las curvas G muy enruladas son sinuosas y complejas, desordenadas, entrópicas, con extremada necesidad de información a posteriori necesaria para identificarlas, asociadas con un alto nivel de desinformación a priori de quien las pretende analizar, al mismo tiempo "muy presurizadas y calientes", con H tendiendo a cero y L/H tendiendo a infinito.

En el rango intermedio, con H variando entre 2L y 0, las curvas G van mostrando tendencia hacia uno u otro caso límite, según el valor de H o de L/H.

El cociente L/H tiene el mismo significado que el producto PV en la ley de gases ideales y un gráfico de V versus P muestra parecidas isotermas hiperbólicas que una representación de L versus 1/H. Manteniendo L fijo (por ej. L = 2 ­­ r), al desplazarse por 1/H de izquierda a derecha, aparecen inicialmente una recta G (zona en que 1/H vale 1/2L); luego una circunferencia G (zona en que 1/H vale 1/L) y luego curvas crecientemente enruladas G (zona en que 1/H crece), con rollos apretados finales. Las isotermas que se van atravesando indican tambien mayores temperaturas. Si sube la presión es porque sube la temperatura, en el camino de izquierda a derecha hacia "curvas más presurizadas y calientes".

Si se transita, en cambio, con una longitud L doble de la anterior (L = 4 ­­ r), se logra una recta de doble largo con la mitad de la presión 1/H anterior, lo mismo que una circunferencia doble, etc. Esto se interpreta facilmente, porque la transición hacia un dado enrulamiento de, por ej., cuatro bucles, se logra más fácil, o sea con más largo de la envolvente, con una serpentina larga que con una corta.

Bibliografía: Ian Stewart, comentando un trabajo de Dekking y MendŠs- France, en Inv. y Ciencia, N§ 170, noviembre de 1990, p.130.

Ahora bien, el caucho estirado tiene sus macromoléculas elastoméricas rectilíneas y el caucho relajado tiene esas mismas macromoléculas enruladas. Sirve entonces

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para continuar con el tema de la "termodinámica de las curvas". Si en lugar de una serpentina hecha de papel se imagina una banda elástica de caucho fabricada enruladamente, el caso límite de la recta adquiere un nuevo significado y surge la novedad de la fuerza de tracción o de estiramiento y la fuerza elástica. Aquí, en escala molecular, la fase simple ya no es la recta a secas, sino la recta estirada, la banda de caucho con estructura cristalina, ordenada, que hereda de la descripción previa los mismos atributos (predectibilidad, sencillez, pocos parámetros, estructura antientrópica, etc.). La banda elástica relajada y sin estirar muestra una estructura amorfa y desordenada, con pocos grados de esclavitud microscópicos, esto es, con pocas fuerzas débiles de van der Waals uniendo entre sí las hebras del elastómero. Cada hebra del elastómero tiene un elevado número de rulos. A medida que se va tensando la banda, surgen nuevos grados de esclavitud entre hebra y hebra, o sea un número mayor de fuerzas de van der Waals entre las moléculas elastoméricas cada vez más paralelas y rectilíneas. Se dice así que surge una transición de fase de cristalización por deformación a partir de un estado previo amorfo. Esa transición de fase desde el estado amorfo al cristalino, o sea desde el estado "distraído" o relajado con muchos grados de libertad entre moléculas, al estado tensado o excitado con pocos grados de libertad, involucra una disminución en el inventario de los grados de libertad intermoleculares. Es, por analogía con la termodinámica de las curvas, una transición entre una curva enrulada y una recta simple, o sea una transición del desorden y la complejidad topológica, hacia el orden y la simplicidad. Es facil determinar experimentalmente si esa transición es o no liberadora de energía, en este caso de calor. Basta hacerlo sobre el labio inferior de la boca, que es muy sensible al calor. Se nota que al estirar la banda, el labio detecta calor localizado, que se transforma en enfriamiento al relajar la banda. La liberación de energía o de calor es tambien creación de entropía. En pocas palabras, el estiramiento es localmente antientrópico (la entropía en la estructura desordenada disminuye al ordenarse) y la relajación es entrópica (en cuyo caso aumenta). El estiramiento es la respuesta del sistema al esfuerzo de tracción (Fig 28).

En presencia del pulso, como la estructura cambia de amorfa a ordenada, hay destrucción de entropía. Localmente, para la banda, el reordenamiento es antientrópico.

En ausencia del pulso, localmente, el proceso entrópico es relajar las fuerzas elásticas.

En el texto principal de este trabajo se aplican estos mismos conceptos a la tarea intelectual de generar una demostración de teorema, análogo en fuerte medida a la ida y a la vuelta del proceso de la Fig 28. A continuación, la explicación se refiere a cómo hace el cerebro para enviar señales referentes al trazado de una recta o de una curva mediante un brazo y una mano.

van Vlack - Elements of Materials Science

En junio de 1996 aparece en Scientific American, p 34, una interesante mención de los trabajos de Andrew B. Schwartz y de Gary T. Samaguchi en el Neurosciences Institute de San Diego, CA, y en la Arizona State University. Unas cien neuronas de la corteza motora de un mono rhesus, conectadas especialmente a unos cien instrumentos, resultan suficientes para el estudio de las señales que emergen hacia los músculos y, a través del

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BANDA RELAJADA DE CAUCHO                       BANDA ESTIRADA DE CAUCHO

Estado amorfo y entrópico.                     Estado cristalino y     
Gran número de grados de                       antientrópico. Escaso
libertad entre moléculas.   Banda durante el   número de grados de liber-  
Las macromoléculas           estiramiento      tad entre moléculas. Las     
enruladas ocupan mucho     ---------------->   macromoléculas estiradas 
espacio y H para cada      Pulso de esfuerzo   ocupan poco espacio y H es
molécula es grande.           de tracción      reducido. Por principio de 
Sin fuerzas elásticas.                         Le Chatelier, durante el
                                               pulso surgen fuerzas 
                                               elásticas en la banda.