Barral y von der Becke

Fórmula

El conjunto de fórmulas para aplicar al juego de los dos baldes tienen en cuenta estas seis posibilidades de acción:
  • Llenar el balde grande
  • Llenar el balde chico
  • Vaciar el balde grande (se entiende, al sumidero)
  • Vaciar el balde chico
  • Transferir del balde grande al balde chico
  • Transferir del balde chico al balde grande.

    Estos seis casos se pueden ubicar en una matriz de tres por tres con filas que son ORIGENES y con columnas que son DESTINOS. Llamamos aquí

  • A el contenido de entrada (antes) del balde grande,
  • B al contenido de entrada (antes) del balde chico,
  • C al contenido máximo del balde chico,
  • D al resultado de comparar C-B y A en el caso analizado, quedándose con que D es el menor de ambos o sea
              | C-B |
D = Min   |     | 
          |  A  |
  • E al resultado de comparar G-A y B, quedándose con que E es el menor de ambos o sea 
             | G-A |
D = Min  |     | 
         |  B  |
  • y G es el contenido máximo del balde grande. Las fórmulas para la matriz de 3x3 son las que aparecen en el cuerpo de la siguiente tabla:

     

     

     

    DESTINO

     

     

    		  
    Balde Grande
    Balde Chico
    Sumidero

     

    		 Balde Grande
    No
    Pasar a Chico
    | 1-(D/A) (D/A)   0 |
    |     0             1     0 |
    |     0             0    1 |
    Vaciar Grande
    | 1   0  0 |
    | 0  1  0 |
    |-A  0  1 |.
    ORIGEN

    Balde Chico

    Pasar a Grande
    |     0             1     0 |
    | (E/B)  1-(E/B)   0 |
    |     0             0    1 |
    No
    Vaciar Chico
    | 1   0  0 |
    | 0  1  0 |
    | 0 -B  1 |.

     
    Canilla
    Llenar Grande
    |     1 0  0 |
    |     0 1  0 |
    | G-A 0  1 |
    Llenar Chico
    | 1      0  0 |
    | 0     1  0 |
    | 0 C-B  1 |.
    No

    Ejemplo: Sea G = 4 L y C = 3 L. Sea un ingreso de A = 2 L en el grande y B = 3 L en el chico. Entonces el vector de entrada es (2 3 1). Nos proponemos transferir el Chico al Grande. En ese caso se calcula el valor de E comparando G-A = 4-2 = 2 con B = 3 L, de los cuales E es el menor 
           | 2 |
E = Min|   | = 2
       | 3 |
    Reemplazando
               |     0             1     0 |
    (2 3 1) | (E/B)  1-(E/B)   0 | = (4 1 1) o sea el Grande lleno y el Chico con 1 L
               |     0             0     1 |

    Nótese que las matrices de operaciones de transferencia entre baldes son probabilísticas, esto es, la suma de los elementos de sus filas siempre da 1. Esto tiene significado físico, ya que para el total del sistema, nada se gana ni se pierde en esas acciones, aunque se redistribuye entre las partes.

    Vuelta 1