Dipl.-Ing. Peter Fette; Am Schäferloch 16; D-75045 Walzbachtal /Germany

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7. Wärmeflüsse und Ausdehnungsarbeit bei 100 % wirkendem Regenerator |2|

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik besagt:
Die einem geschlossenen Kreisprozeß übertragene (oder entzogene) thermische Energie "d_Q" kann eine Änderung der inneren Energie des Arbeitsfluids zur Folge haben, und kann bewirken, daß das Arbeitsfluid Arbeit verrichtet. So lautet die Energiebilanz:

(7.1) d_Q = d_A + d_U

Darin ist "d_A" das Differential der Ausdehnungsarbeit, "d_U" ist das Differential der inneren Energie des Arbeitsfluids. Auf alle Gasvolumina (VE, VC, VR) in der Stirling Maschine angewendet, ergibt obige Energiebilanz nunmehr das Differential der resultierenden Nutzenergie:

(7.2) d_Qnutz = P * d_VE + P * d_VC + d_UE + d_UC + d_UR

Die 5 Elemente in Gleichung Gl.(7.2) bedeuten:

1) P * d_VE = Differential der Expansionsarbeit im Expansionszylinder. Siehe auch Gl.(2.17). Seine Integration bildet die nach außen abgegebene Arbeit der Maschine.

2) P * d_VC = Differential der Kompressionsarbeit im Kompressionszylinder. Siehe auch Gl.(2.18). Seine Integration bildet die Arbeit, die der Maschine von außen zugeführt werden, damit der Kreisprozeß geschlossen wird.

3) d_UE = Differential der inneren Energie des Arbeitsfluids im Expansionszylinder

Mit ME = Gasmasse im Expansionszylinder und "c_v" der spez. Wärme des Gases bei konstantem Volumen ist d_UE:

(7.3) d_UE = c_v * d_(ME * TE)

(7.3) d_UE = c_v * ME * d_TE + c_v * TE * d_ME

(7.3) d_UE = d_UTE + d_UME

Der Anteil: c_v * ME * d_TE entspricht der Änderung der inneren Energie "d_UTE" aufgrund der Temperaturänderung der Gasmasse ME im Expansionszylinder.

(7.4) d_UTE = c_v * ME * d_TE

Der Anteil: c_v * TE * d_ME entspricht der Änderung der inneren Energie "d_UME" aufgrund der Gasmassenänderung im Expansionszylinder.

(7.5) d_UME = c_v * TE * d_ME

4) d_UC = Differential der inneren Energie des Arbeitsfluids im Kompressionszylinder

mit MC = Gasmasse im Kompressionszylinder ist d_UC:

(7.6) d_UC = c_v * d_(MC * TC)

(7.6) d_UC = c_v * MC * d_TC + c_v * TC * d_MC

(7.6) d_UC = d_UTC + d_UMC

Der Anteil: c_v * MC * d_TC entspricht der Änderung der inneren Energie "d_UTC" aufgrund der Temperaturänderung der Gasmasse MC im Kompressionszylinder.

(7.7) d_UTC = c_v * MC * d_TC

Der Anteil: c_v * TC * d_MC entspricht der Änderung der inneren Energie "d_UMC" aufgrund der Gasmassenänderung im Kompressionszylinder.

(7.8) d_UMC = c_v * TC * d_MC

5) d_UR = Differential der inneren Energie des Arbeitsfluids im Regenerator

ist die Änderung der inneren Energie aufgrund der Temperatur- und Massenänderung des Gases im Regenerator. Analog zu den obigen Definitionen ist:

(7.9) d_UR = c_v * d_(MR * TR)

(7.9) d_UR = c_v * MR * d_TR + c_v * TR * d_MR

(7.9) d_UR = d_UTR + d_UMR

(7.10) d_UTR = c_v * MR * d_TR

(7.11) d_UMR = c_v * TR * d_MR

Da die gesamte Gasmasse in der Maschine konstant bleibt, sind die Gasmassenänderungen: d_ME + d_MC + d_MR = 0. Daraus folgt: d_MR = -d_ME - d_MC; und somit ergibt sich für d_UMR auch:

(7.12) d_UMR = - c_v * TR * d_ME - c_v * TR * d_MC

Nun kann d_UMR auch aufgeteilt und mit d_UME und mit d_UMC zusammengefaßt werden, so daß die Größe d_UMR nicht berechnet zu werden muß. Es ergibt sich, wenn man Gl.(7.5) mit dem 1. Teil der Gl.(7.12) kombiniert, für das Massenelement d_ME eine Größe: d_URE

(7.13) d_URE = c_v * (TE - TR) * d_ME

d_URE stellt etwas anschaulicher jetzt die Regeneratorenergie -Abgabe (bzw. -Aufnahme) dar für das Massenelement d_ME auf seinem Wege vom Regenerator zum Expansionszylinder (d_ME > 0) oder vom Expansionszylinder zum Regenerator (d_ME < 0).

Analog zu d_URE ergibt sich für das Massenelement d_MC durch Zusammenfassung von Gl.(7.8) und dem 2. Teil von Gl.(7.12) die Größe : d_URC

(7.14) d_URC = c_v * (TC - TR) * d_MC

d_URC stellt -wie auch d_URE- etwas anschaulicher jetzt die Regeneratorenergie- Abgabe (bzw. - Aufnahme) für das Massenelement d_MC dar auf seinem Wege vom Regenerator zum Kompressionszylinder (d_MC > 0) oder vom Kompressionszylinder zum Regenerator (d_MC < 0).

Mit diesen Definitionen kann Gl.(7.2) d_Qnutz folgendermaßen definiert werden

(7.15) d_Qnutz = P*d_VE + P*d_VC + d_UTE + d_UTC + d_UTR + d_URE + d_URC

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