l'analisi topologica può aiutare a spiegare il significato rituale di alcuni segni ed artefatti neolitici

Artefatti con superficie tridimensionali sono maggiormente determinati dai materiali, dalla tecnologia e dall'utilizzo, talvolta meramente rituale, che le loro contraparte bidimensionali. (nota 1) Una superficie convessa, per esempio, suggerisce una funzione protettiva come uno scudo, mentre una superficie concava come una coppa indica una funzione ricevente. La corrispondenza bidimensionale è in ambi i casi una linea curva. Una forma generata per l'operazione della rotazione rappresenta, se il lato interno è aperto verso l'esterno come nella coppa, una offerta, per esempio, dalla comunità alla Dea,  mentre se la cavità è diretta versa la persona come uno scudo, ha una funzione difensiva. 

Nel caso di un vaso questa funzione protettiva si estende naturalmente al contenuto e genera la coppia semantica interno/esterno come nel motivo del cerchio. Idealmente il cerchio bidimensionale diventa nella terza dimensione una sfera. L'apertura nel caso del vaso presenta il canale o passaggio dall interno all'esterno e vice versa. La forma di questo passaggio può essere resa più significativa in diversi modi. Se il vaso ha per esempio la forma di una bottiglia la forma convessa del contenitore diventa concava verso il 'collo', cioè la funzione semantica della 'protezione' della curva convessa si trasforma in quella della 'offerta' della curva concava. Una trasformazione del volume come nel caso del collo di una bottiglia può dunque essere spiegata come l'espressione di un allungamento o stiratura verso l'esterno. Questo corrisponde anche alla linea sinusoide o serpentina. 

Michelangelo una volta confessava che il segreto della bellezza sta nell'alternarsi (o l'inflessione) di forme convesse e concave e oggi possiamo osservare come molto del design moderno, come il design degli automobili, è una applicazione nello spazio tridimensionali della linea serpentina. 

Il celebre filosofo francese Gilles Deleuze (1925-) (nota 2) indica come Paul Klee, come già Leibniz (1646-1716), ha analizzato la piega e specialmente il cosiddetto punto di inflessione, dove il raggio 'salta' dall'interno all'esterno e vice verso. Paul Klee con la suo formidabile comprensione dei fenomeni visivi e psicologici ha esplicato molti significati dei segni visivi nel suo “Das bildnerische Denken” (nota 3), una collezione informale di trascrizioni dalle sue lezioni alla Bauhaus (1920-1933). Il punto di inflessione della sinusoide, dice Klee, e 'il luogo non dimensionale della genesi cosmico' mentre per Deleuze questa linea significa 'l'eterno ritorno'. 
 

Klee illustra il punto di inflessione di una linea con queste tre figure nel suo  "Teoria dell'Arte Moderna".  La prima figura mostra una linea come un sentiero che cambia direzione in un punto di inflessione, in una piega.  Nella seconda figura la linea è accompagnata ludicamente da un'altra.  La terza figura egli disegna un ombra dalla parte 'esterna' della linea. L'area ombreggiata cambia lato nel punto di inflessione.

L'analisi topologica delle linee curve e delle forme incurvate, caratterizzate da punti d'inflezione, è possibile se le consideriamo creati da differenti tipi di trasformazione. Bernard Cache (nota 4) menziona una classificazione in tre tipi delle trasformazioni sottostanti queste forme. 

Il primo tipo di trasformazione è esemplificato dalla linea serpentina e da altre linee, come duplex, cerchi, umbilichi e ogive, generate dalla rotazione del motivo della linea curva, determinate dal campo morfogenetico in cui si trova il punto di inflessione e sotto le influenze esterne (minimali ma decisivi). Ciascuna di queste linee è da considerare come una sezione di un piano o, più in generale, una superficie. Significativamente, lo spazio euclideo con le sue linee rette, triangolo, quadrati, poliedri, ecc. costituisce un caso molto particolare dove ogni 'spigolo' è anche il luogo di punti di inflessione. 

Il significato generalizzato di tutte queste forme geometriche in una prospettiva neolitica, come abbiamo vista prima, può considerarsi come la potenziale comunicazione tra il nostro mondo e il Divino. Per il carattere della onnipotente tripla Dea Uccello questo legame è insieme pericoloso e rassicurante ed era comunque saggio mantenere buone relazioni con Lei: sappiamo che a Lei venivano offerte sacrifici umani! La sinosoide è funzionale a questa relazione come possiamo leggere in uno studio sulla magia degli serpenti nel  "The Masks of God: Occidental Mythology", (p.9) di Campbell di cui citiamo questo paragrafo: 
 

La miracolosa abilità dello serpente di sgusciare fuori dalla sua pelle e così rinnovare la sua gioventù lo ha fatto conferire in tutto il mondo il carattere di maestro della magia della rinascita, di cui la luna, crescendo e diminuendo, che si distacca dalla sua ombra e poi cresce ancora, è il segno celeste. La luna è la padrona della misura del ritmo della creazione della vita nel grembo e dunque del tempo in cui gli esseri vengono e vanno, è Lei la padrona del mistero della nascita e ugualmente della morte - quali, sommati, sono aspetti di un unico stato dell'essere. La luna è la padrona delle maree e della rugiada che scende di notte che rinfresca l'erba che nutre la mandria. Ma il serpente, anche lui, è un padrone delle acque. Risiede nella terra, tra le radici degli alberi, frequenta sorgenti, palude, e corsi d'acqua, scivola con il movimento delle onde... 

Questo immagine di una conchiglia, un esempio di una spirale logaritmica tre dimensionale, è stato generato sul computer da Øyvind Hammer

Il significato che possiamo assegnare a queste svariate forme come segni è la loro rappresentazione terrestre dei caratteri della Dea Divina.

Immagine del guscio di un riccio di mare ripresa con la UCMP Environmental Scanning Electrom Microscope

'La linea si piega effettivamente su se stessa creando una spirale variando l'inflessione in un movimento sospeso tra cielo e terra, che si allontana o si avvicina infinitamente ad un centro di curvatura e che, ad ogni istante "prende il volo o rischia di abbatetrsi su di noi" (Deleuze, op.cit. p.23, trad.AvO). Queste forme possono interpretarsi come nel seguente paragrafo di Jackson Knight : 
 

La forma del labirinto - che è una spirale elaborata - presenta un sentiero lungo ed indiretto dall'esterno di un area verso l'interno, verso un punto chiamato nucleo, generalmente vicino al centro. Il suo principio sembra essere di fornire un accesso difficile ma possibile ad qualche punto importante. Ci sono due concetti coinvolti: l'idea di una penetrazione  e di una difesa, in termini corretti. (citato da Joseph Campbell) (note 6)

BUCHI

Queste strutture spungiforme possono essere classificate da un altro punto di vista: la topologia degli spazi vuoti. Infatti qualsiasi oggetto fisico ha, come contrapparte, lo spazio che non occupa.  Recentemente nella cosiddetta mereologia la morphologia degli spazi vuoti o buchi  è stata parzialmente analizzata. (nota 7)  Dopo Felix Klein (1849-1925), buchi hanno un ruolo importante nella topologia per la classificazione delle forme tri dimensionali (come sfere, tori, l'annello di Moebius ed altri). Dopo che Conrad Hal Waddington; D'Arcy THompson  e René Thom hanno abozzati una geometria generale degli oggetti naturali, si è sviluppata una fisica naturale e diventato possibile anche l'analisi sistematica di questi oggetti vuoti o cavità. 
Uno sguardo più attento di queste entità tri-dimensionali, che possiedono forma ma non hanno una esistenza fisica, diventava necessario in relazione alla Intelligenza Artificiale, in particolare alla robotica perché queste macchine devono imparare ad identificare i vuoti alla stessa stregua degli oggetti fisici.

Abbiamo già incontrato questi oggetti elusivi nel nostro Mental Design Model dove, nel caso della operazione del taglio, possiamo sostituire la sottrazione con un'addizione di un oggetto 'negativo' o vuoto all'oggetto 'hospite'.

La filosofia Zen, naturalmente, che medita sul vuoto o assenza di un oggetto come un mezzo per raggiungere l'illuminazione, conduce il pensiero orientale come ad assegnare un valore uguale al vuoto come al pieno.
Le trasformazioni possono dunque rivelarsi simboli di una sacra saggezza, del bene e del male, di vita e di morte.