Sentado, Herbert Simon y de pié Allen Newell, en un tablero de ajedrez de 4x4
AJEDREZ SIMPLIFICADO.
C.H.von der Becke (1993)
1. TOMA DE DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE.
En el ajedrez simplificado buscamos sacar el máximo provecho de una dada
situación en presencia de incertidumbre.
El máximo provecho es volcar el juego a nuestro favor con la juqada que
elijamos.
La dada situación son las req1as del ajedrez y la posición de las cuales
partimos.
La incertiduabre se refiere a nuestra ignorancia acerca de cómo nos va a
replicar el adversario, lo cual éste tampoco sabe porque no lo pensé todavía. Sería bajo certidumbre si el oponente juega lo mejor posible, porque en ese caso yo (con ayuda computacional) sabría lo que va a jugar.
El problema del mejor movimiento de las negras, que aparece en el artículo de
Waltz referido al ajedrez siaplificado, en tablero de 4x4 en lugar de 8x8, con
la posicion inicial que se resume así:
1000
x
-1000
x
x
x
x
3
1
x
x
x
x
x
x
-5
Notas:
* El tablero de 4x4 es el del ajedrez simplificado
* Las cifras de esta lista son los puntajes al hacer el inventario
1000 significa rey negro (nuestro)
-1000 significa rey blanco
3 significa caballo negro
1 peón negro a punto de ser coronado
-5 torre blanca
10 dama negra
x casillero vacío de tablero 4x4
PUNTAJE -2,5 (posición perderdora)
SENTIDO DE AVANCE Negras hacia abajo,
Se puede analizar en forma tipificada mediante una matriz decisional donde
las cinco acciones que pueden encarar las fichas negras (nosotros) aparecen
como columnas al a a5, donde la letra a simboliza la palabra acción, las
filas son por lo menos dos. La primera corresponde a la solución trivial en
que las blancas (el opositor) juegan lo peor posible (nivel de juego pésimo) y la segunda a la solución
singular en que las blancas juegan lo mejor posible (nivel de juego óptimo), jugadas medidas a través
del sistema de puntaje (la función de evaluación) explicado en el artículo, después de la respuesta de
las blancas a nuestra jugada. En casos prácticos las blancas pueden jugar
con un nivel intermedio entre el peor y el mejor, lo cual se aplica a otras filas (a otros niveles de juego diferentes de los dos anteriores)
que aquí no analizamos.
MATRIZ DECISIONAL DESPUES DE LA RESPUESTA DE BLANCAS A NUESTRA JUGADA al...a5
suce- sores
a1- caballo negro al centro
a2- caballo negro abajo
a3- caballo negro arriba
a4- rey negro abajo
a5- peón coronado
Hº blancas juegan pésimo
1000
x
x
x
x
x
-1000
x
1
3
x
x
x
x
x
-5
1000
x
-1000
-5
x
x
x
x
1
x
x
x
x
x
3
x
1000
3
x
x
x
x
-1000
x
1
x
x
x
x
x
x
-5
x
x
-1000
x
1000
x
x
3
1
x
x
x
x
x
-5
x
1000
x
-1000
x
x
x
x
-5
x
x
x
x
10
x
x
x
puntaje
1000-1000+1+3-5 -1,5+2,5= 0
1000-1000-5+1+3= -1
1000+3-1000+1-5= -1
-1000+1000+3+1-5 -1.5= -2,5
1000-1000-5 +10= 5
H1 blancas juegan óptimo
1000
x
x
x
x
x
-1000
x
1
3
x
x
x
x
x
-5
1000
x
-1000
x
x
x
x
x
1
x
x
x
x
x
-5
x
1000
3
-1000
x
x
x
x
x
1
x
x
x
-5
x
x
x
x
x
-1000
x
1000
x
x
-5
1
x
x
x
x
x
x
x
1000
x
-1000
x
x
x
x
3
x
x
x
x
-5
x
x
x
puntaje
1000-1000+1+3-5 -1,5+2,5= 0
1000-1000+1-5= -4
1000-1000+3+1-5 -0,5 = -1,5
1000-1000+1-5 -10= -14
1000-1000+3-5-10-1,5= -13,5
Hº -
Máximo de puntaje
no
no
no
no
elegir a5,opt
H1 - Máximo de puntaje
elegir a1,opt
no
no
no
no
Hº significa la hipótesis nula o trivial "las blancas juegan pésimo";
H1 es la hipótesis alternativa "las blancas juegan óptimo".
El puntaje es el
explicado en el artículo de Waltz y abarca el inventario con los signos y las
amenazas, preguntándole una sola vez a cada pieza de ajedrez, si está
amenazada. Si así fuera el puntaje de la amenaza, con su signo adecuado, será la mitad del valor de inventario de la pieza amenazada. La excepción es la amenaza al rey (jaque) que vale 10 puntos y no 500.
La acción nuestra aóptima dependerá de si el opositor juega en forma óptima para él o en forma pésima (o casos intermedios).
Usaremos las palabras bonificación y penalidad para caracterizar
con la primera lo que nos conviene (cifras altas son favorables) y con la segunda lo que nó
(cifras muy negativas resultan así favorables).
Hay una sola manera de juqar lo mejor posible, H1, y hay una sola manera de
jugar lo peor posible, Hº, aunque hay muchas maneras de jugar mal.
La teoría de
la toma de decisiones enseña que bajo incertidumbre sobre cómo juega el
opositor, conviene imaginar que dicho opositor lo hace de la mejor manera
posible en su interés, lo cual está asociado con una escuela determinada de
resolución de problemas bajo incertidumbre: la así llamada estrategia minimax.
En la matriz decisional se anotan penalidades para nosotros, con signo
positivo, Si se anotan bonificaciones para nosotros, la estrategia se invierte
y se denomina maximin. En la tabla previa para los puntajes se aplican bonificaciones
con signo positivo para nosotros y negativos para el oponente: la tabla es maximin.
Maximin se denomina buscar cuál acción está asociada con el máximo de los
mínimos por columna (columnas son acciones o decisiones). En la primera
columna debemos seleccionar el mínimo, que corresponde a la fila del oponente
jugando bien (filas son estados de la natura). Esto mismo se repite en cada
una de las restantes cuatro columnas, con el mismo significado. Tenemos
entonces cinco valores, de los cuales buscamos no solamente el valor máximo,
sino tambien queremos identificar en qué columna está.
La acción asociada con esa
columna, acción que figura en el titulo que la encabeza, será la acción
óptima, función de haber seleccionado maximín como estrategia a seguir.
La solución Maximín es la del pesimista perfecto, pues imagina que el
oponente jugará siempre bien, lo cual va en contra de los intereses de quien está tomando la decisión, pero simula una situación que bien puede
ser real.
Repetimos que esto es para bonificaciones desde nuestro punto de vista
(las negras). En los textos habitualmente no se anotan las bonificaciones
sino las penalidades. Cuando se hace esto último, corresponde decir que el
pesimismo se asocia con la estrategia minimax.
3. CRITERIO PARA MEDIR UN DADO ESTADO EN EL TABLERO DE AJEDREZ.
Waltz nos explica que hay tres criterios que, combinados, ayudan a saber
quien va ganando.
1. Un inventario o suma algebraica de las fichas del tablero y de la suma
algebraica de las amenazas que están sufriendo cada una de las fichas, en
respuesta a la pregunta individual: ¿estás amenazado? La suma algebraica
de sumandos con signo positivo se usa para lo que nos ayuda y negativo para
lo que nos frena,
2. Una evaluación de quién tiene el dominio del centro del tablero.
3. Una consideración de la factibilidad que un peón pueda llegar a coronarse.
Como hace Waltz, solamente nos fijamos en 1. Sin embargo privileqiasos con el
orden de prioridad uno aquella jugada nuestra (nos toca jugar a nosotros, las
negras) que mejore nuestro dominio del centro del tablero, criterio 2. Esto
resultará muy importante para resolver con rapidez la mejor jugada.
4. COMENTARIOS SOBRE LA DECISION OPTIMA CON LOS ESTADOS RESULTANTES CUANDO LAS
BLANCAS HAN REPLICADO NUESTRA JUGADA, LA INDICADA CON al, a2, a3, a4 o a5.
Como se ha visto, el puntaje corresponde a bonificaciones para las negras.
Seleccionamos los mínimos de cada columna, lo cual está asociado con nuestra
actitud pesimista con respecto a cómo ha de jugar el oponente, que buscará que
nuestras bonificaciones sean mínimas. la tarea se explica en la antúltima
fila o estado de la natura de la matriz decisional.
Como resultado de esa tarea, tenemos cinco valores máximos, que volvemos
a anotar en la última fila de la matriz. Con ellos debemos elegir nuestra
nuestra jugada más racional, habida cuenta de nuestro pesimismo. Si fuesemos optimistas, la racionalidad nos lleva a a4 o a5. Nos damos cuenta que, contrastando entre sí las distintas escuelas, una la pesimista o Maximín para
bonificaciones y otra la optimista o Maximax para bonificaciones, llevan a soluciones
distintas. Esta falta de coherencia preocupa a muchos teóricos, que piden
entonces que uno se esfuerce por cuantificar sus incertidumbres. Se dice que
siempre sabemos algo, tenemos alguna pista, de cómo es la aparente
incertidumbre que enfrentamos. Si cuantificamos aunque sea borrosamente esa
incertidumbre, el problema pasa a ser de toma de decisiones bajo riesgo, soluble
matematicamente, lo cual conforma a los teóricos. Se ha sugerido que el optimista
es quien conoce más de la situación que lo que normalmente saben los demás, por
lo cual cuando piensa que la suerte va a estar de su lado, lo hace basado en
antecedentes que no pone sobre la mesa.
Desde cierto punto de vista, nuestro conocimiento durante la partida de ajedrez es
conocímiento borroso, "fuzzy knowledge'. No vemos claro qué hacer, sino a
medias. No sabemos exactamente cómo jugarán las blancas despues de la jugada
nuestra que estamos ponderando.
La defensa habitual del pesimismo es bastante intuitíva, Si suponemos que
el opositor juega bien, estamos preparando nuestra jugada de tal forma, que
si juega bien ya lo habíamos previsto de antemano y si juega mal, alguna
ventaja adicional vamos a poder sacarle a su falta de pericia.
En cualquier caso, una mayor seguridad en el análisis deriva de tener más
información valiosa, que en este caso es fácil de interpretar. Habrá que
avanzar a un nivel más abajo, o sea calcular la contrarréplica nuestra a
cada réplica opositora. Esto se vuelve en un árbol tan ramificado que en
general no alcanza el tiempo si se sigue con la misma actitud, bajando más
y más de nivel. Una partida de ajedrez tiene en promedio 52 niveles, como
anota Waltz. Debemos conformarnos con un descenso de nivel lo
suficientecente bueno para los fines prácticos (principio de racionalidad
restringida de Herbert Simon).
Nótese que aunque nosotros (las negras) no hemos ganado aún, hemos salido
de una posición perdedora con puntaje -2,55, para remontar a una posición
cuyo puntaje es 0, segun el método aquí explicado.
Obsérvese que el programa consiste en un cierto manejo de listas y que la
asignación de puntajes es de la forma de un polinomio lineal.
A la asignación de puntajes ('para sacar el máximo provecho') la llamamos función de
evaluación del criterio o de la función objetivo,
S. El JUEGO DEL AJEDREZ COMO VECTORES Y MATRICES.
Como en otros ejemplos, una secuencia de jugadas se puede
descomponer en un estado inicial registrado en un vector fila, que
premultiplica a un operador que es una matriz cuadrada, dando como resultado
de nuevo un vector fila que simboliza al sucesor del estado inicial. Interesa
pensar si no se puede hacer algo análogo con el ajedrez. Efectivamente, con
un vector fila de 16 elementos se puede simbolizar el estado inicial, o sea,
para el caso analizado,
1000 x -1000 x x x x 3 1 x x x x x x -5
que multiplicado por el operador caballo al centro origina
1000 x -1000 x x x x x 1 3 x x x x x -5
que seguido del operador rey blanco abajo, genera el vector resultado óptimo
para las negras y las blancas (maximin)
1000 x x x x x -1000 x 1 3 x x x x x -5
La matriz cuadrada de 16 x 16 que simboliza caballo negro al centro y la del
otro tipo que representa rey blanco abajo, se pueden despejar a partir de
la observación que como al no haber ni disminución ni aumento del número de
piezas, ambas deben ser estocásticas. La diagonal principal de las matrices
cuadradas debe tener alta abundancia de 1.
Combinando entre sí las dos
matrices cuadradas individuales se obtiene otra tercera matriz cuadrada que
permite saltar de la posición inicial a la posición final maximin. El
significado de esa tercera matriz lineal, es el de mostrar esquematicamente
el desarrollo de dos jugadas consecutivas como una sola operación conjunta,
por aplicación del principio de superposición de matrices lineales. Se la compara con un macro.
9. DOS COMPUTADORAS COMPITIENDO PARA AFINAR El CALCULO DE PUNTAJE.
La aparente arbitrariedad de evaluar con 10 a un rey jaqueado o con un 3
a la presencia de un caballo, puede refinarse con un método bastante
intuitivo, Basta poner a competir miles de veces a dos computadoras,
programadas de manera que los parámetros o cifras de cada una de las máquinas difieran de las de la otra. La que gane más veces estará más cerca de la verdad. Así, los parámetros se ponen experimentalmente a prueba, quizás a través de un programa maestro de diseño de experimentos del cual son esclavas esas dos computadoras. Por supuesto, esta tarea no necesita de dos computadoras, ya que una sola, ingeniosamente programada, puede satisfacer muy bien la misma función.
Sentado, Herbert Simon y de pié Allen Newell, en un tablero de ajedrez de 4x4