À nouveau nous devons solliciter l'imagination de nos lecteurs et leur demander de se figurer un Monde à Deux Dimensions où ne seraient connues que la longueur et la largeur. Ce Monde que notre auteur doué appelle pour le présenter d'une façon plus vivace à nos lecteurs "Terre Plate".

Nous devons de nouveau citer notre auteur largement.

Notre vieil ami, le carré animé parle :

" Imaginez une vaste feuille de papier sur laquelle des droites, triangles, carrés et cercles au lieu de rester fixes à leurs places se déplacent librement sur la surface, comme des ombres, vous aurez alors une notion juste de ce Monde et de ses habitants.

Dans un tel pays et vous vous en apercevrez de suite, il n'existe pas ce que vous appelleriez une "forme solide" mais j'ose dire qu'au moins vous pourriez supposer que l'on puisse voir les triangles, carrés et autres figures se déplaçant comme je l'ai décrit plus haut. Au contraire rien n'était visible, ni ne pouvait être visible sauf des lignes droites ".

Nos lecteurs verront ici la stricte Analogie :

Ainsi que dans " Une Dimension ", " ll ne pouvait voir que des points et non des lignes ; dans " Deux Dimensions ", " Il ne peut voir que des lignes et non des carrés et etc... Si l'oeuil est placé à un même niveau (situé dans le même Monde) que le bord des figures tracées sur le carton, et quelles qu'en soient leurs formes une seule ligne sera visible ; ce n'est qu'en nous élevant ou en nous abaissant ; c'est-à-dire en entrant dans la " Troisième Dimension" que nous verrions la forme des figures.

Les maisons de la " Terre Plate " d'après notre auteur et d'après la raison sont des espaces clos par des lignes ; des ouvertures étant laissées pour les portes. Il est certain que l'idée de prévoir un toit pour ces maisons est absurde étant donné qu'il n'y a d'espace dans ce Monde qu'en longueur et en largeur.

Pour nous donc ces maisons sont ouvertes. Il y a le Nord, le Sud, l'Est et l'Ouest ; les deux premiers étant équivalents à la longueur et les deux derniers à la largeur.

Dans une telle maison, il est certain que quand la porte est fermée, tout être, bien qu'inaccessible et qu'invisible à tout habitant de la " Terre Plate ", peut être touché et vu par nous qui sommes en dehors de cette maison (une des pièces de carton placée à l'intérieur d'un cercle filiaire illustrera ceci).

Une telle Terre si elle était imaginée abondamment peuplée avec des figures plates se déplaçant d'ici et là sur la surface, entrant et sortant de ces espaces clos qu'ils appellent "maisons" va nous permettre de comprendre l'extraordinaire expérience de notre carré animé de la " Terre Plate " quand après avoir essayé et échoué de convaincre le roi d'Une Dimension ; il est lui-même sollicité par une personne de notre " Monde des Solides " (ou "Monde à Trois Dimensions") qui voudrait le convaincre à son tour.

L'incident se produisit ainsi :

"C'etait le dernier jour de 1999 de notre ère. Mes quatre fils et deux petits-fils orphelins s'étaient retirés dans leurs appartements, et seule ma femme était restée avec moi pour clore le vieux millénaire et accueillir le nouveau.

J'étais encombré de pensées, pesant dans mon esprit certains mots qui avaient franchi les lèvres de mon plus jeune petit-fils.

Prenant neuf carrés, d'un inch de côté chacun, je les avais assemblés pour former un grand carré de trois inches de côté.

J'avais prouvé à mon petit-fils, bien que nous ne puissions en voir l'intérieur, et en fait l'intérieur d'aucun carré, nous pouvions quand même estimer le nombre de inches carrés dans un carré simplement en élevant au carré le nombre de inches de son côté; Ainsi dis-je "nous savons que : 32 (trois au carré), ou 9, représente le nombre de inches carrés dans un carré dont le côté a trois inches de long ".

Le petit Hexagon (mon petit-fils) médita un peu et me dit :

" Mais vous m'avez appris aussi à élever les nombres à la puissance trois ; je suppose que 33 (trois au cube) doit vouloir dire quelque chose en géométrie. Qu'est-ce que cela veut dire ? "

"Rien du tout ", repondis-je," Du moins en géométrie ;car la géométrie n'a que deux dimensions ". Je commençais ensuite à montrer au garçon comment un point, en se déplaçant le long d'une longueur de trois inches, décrit une ligne de trois inches, qui peut être représenté par 3 ; et comment une ligne de trois inches, se déplaçant parallèlement à elle même sur une longueur de trois inches décrit un carré de trois inches dans chaque sens, qui peut être représenté par 32" (trois au carré).

Sur ce, mon petit-fils revenant sur sa première suggestion, me prit de court en s'exclamant :

"Bien, Alors, si un point se déplaçant de trois inches décrit une ligne de trois inches, représentée par 3, et si une ligne droite de trois inches se déplaçant parallèlement à elle même décrit un carré de trois inches de côté, représenté par 32 (trois au carré), il faut croire que d'une certaine façon un carré de trois inches de côté se déplaçant parallèlement à lui-même (mais je ne vois pas comment) doit décrire autre chose (mais je ne vois pas quoi) de trois inches dans chaque sens et cela devrait être représenté par 33 (trois au cube)".

Laissons le lecteur observer comment Héxagon, en raisonnant uniquement par Analogie, découvre et décrit un cube ou une figure solide.

"Va te coucher" dis-je, un peu secoué par cette interruption.

"Si tu pouvais dire moins de bêtises, tu retiendrais plus de choses sensées" .

Ainsi mon petit-fils disparut vexé. Me réveillant de ma rêverie, je m'exclamais, " Le garçon est fou ! "

Immédiatement je sentis une présence dans la pièce, et un souffle froid déferla en moi. Regardant autour dans toutes les directions, je ne vis rien. Je quittais mon siège m'exclamant de nouveau : " Le garçon est fou, 33 (trois au cube) ne peut raisonnablement avoir de sens en géométrie" .

À l'instant même, une réponse distincte et audible me parvint :

"Le garçon n'est pas fou, et 33 a un sens géométriquement évident "

Ma femme, ainsi que moi-même, entendîment les mots, bien qu'elle n'en compris pas leur sens, et nous nous précipitâmes en avant tous les deux en direction du son. Quelle ne fut pas notre horreur en apercevant en face de nous une figure !

Ma femme se retira dans son appartement. Je m'approchais de

l'étranger avec l'intention d'en avoir une vue plus détaillée

Il demeura immobile alors que je lui tournais autour, commençant par ses yeux, et y retournant de nouveau.

-Circulaire ; il l'était de partout;  il n'y avait aucun doute à ce propos. Puis un dialogue s'établit.

(Il serait d'une grande aide au lecteur d'illustrer ceci en

plaçant en premier, un carton carré à l'intérieur d'un large cercle en fil, et ensuite de placer une balle à l'intérieur du cercle ; ou mieux encore, de représenter le Monde Plat par la surface de l'eau d'un bassin, et de représenter par un cercle de fil et un carton carré la maison et ses habitants ; et ensuite de représenter le visiteur, par une balle à moitié immergée capable de couler vers le bas ou de s'élever hors du Monde Plat à volonté. )

Moi : " Avant d'entrer plus avant en communication ; vôtre

seigneurie daignerait-elle satisfaire la curiosité de

quelqu'un qui aimerait bien savoir d'où son visiteur

vient-il ? "

L'Etranger : " De l'Espace, Monsieur ; d'où ailleurs ? "

Moi : " Pardon Mon Seigneur, n'êtes-vous pas dans l'Espace ;

en ce moment même ?"

L'Etranger : " Pouh ! Que savez -vous de l'Espace ? Définissez

l'Espace" .

Moi : " l'Espace Mon Seigneur c'est la longueur et la largeur

prolongés indéfiniment" .

L'Etranger : "De fait. Vous ne savez même pas ce qu'est

l'Espace. Vous pensez qu'elle est seulement

bi -dimensionnelle ; mais je suis venu vous en annoncer

une troisième semblable à la longueur et la largeur

: La hauteur " .

Moi : " Votre Seigneurie se plait à plaisanter. Nous parlons aussi

de longueur et hauteur (qui sont les mêmes), ou de

largeur et d'épaisseur (qui sont les mêmes), ceci

désignant deux dimensions par quatre noms.

L'Etranger : " Je ne veux pas dire trois noms, mais trois dimensions "

Moi : " Votre Seigneurie pourrait-elle m'indiquer ou m'expliquer

dans quelle direction est la troisième dimension " .

L'Etranger : " J'en viens. C'est au-dessus vers le haut et

en dessous vers le bas. "

Moi : " Votre Seigneurie semble dire que, c'est vers le Nord et

vers le Sud. "

L'Etranger : " Je ne veux rien dire de la sorte. Je veux parler

d'une direction que vous ne pouvez regarder,

Parce que vous n'avez pas d'yeux sur le côté."

(Si le lecteur représente l'oeuil par un point tracé sur le carton carré, il verra qu'un tel oeuil, sur "le côté" du carré, regarderait vers le haut. Observons aussi que les côtés du carré, vus de l'extérieur, sont tout ce dont on peut en voir du même niveau, et que la surface du carré est son intérieur entouré des quatre côtés.)

Moi : " Excusez- moi, Seigneur, une rapide inspection convaincra

votre Seigneurie que je possède un parfait luminaire à la

jonction de deux de mes côtés."

(Le lecteur verra que le carré parle de ses côtés alors que l'étranger parle de la surface du carré. Les deux peuvent être appelés côtés ; donc un carré de carton peut avoir quatre côtés, ou deux côtés.)

L'Etranger : " Oui ; mais pour voir dans l'espace, vous devez avoir

un oeuil non pas sur votre périmètre mais sur vôtre

surface, ce que vous appelez probablement vôtre

intérieur ; et que dans le Monde de l'Espace nous

appelons votre côté."

Moi : " Un oeuil dans mon intérieur ! Un oeuil dans mon estomac !! Vôtre

seigneurie plaisante."

L'Etranger : " Je ne suis pas d'humeur à plaisanter. Je vous dis

que je viens de l'espace. De cette position

avantageuse j'ai discerné vos maisons, oui ; et

même vos intérieurs, qui sont grands ouverts à ma

vue ."

Moi : " De telles assertions sont facilement faites, mon

seigneur."

L'Etranger : " Comment le convaincrais-je? Sûrement une

déclaration des faits, suivie par une démonstration

oculaire devrait suffire.

Maintenant Monsieur écoutez-moi. Vous vivez dans

un plan. Je ne suis pas une figure plane (ou plate), mais

un solide. Vous m'appelez un cercle

mais je suis une sphère. Votre Pays Plat n'est pas

assez spacieux pour me représenter : Un être à

Trois Dimensions; Il ne peut représenter qu'une

tranche ou une section de moi, ce que vous appelez

un cercle.

Regardez maintenant je vais m'élever, et l'effet

sera qu'à vos yeux, le cercle diminuera de plus en

plus, jusqu'à se réduire à un point, et finalement

disparaître."

Il n'y eut pas "d'élévation" que je pusse voir, mais il diminua et disparût, et, après un certain temps, réapparût et reprit sa taille originelle. Il me lança un profond regard, car il avait vu que je n'avais pas réussi à le comprendre en tout. En effet j'étais à pressent enclin à croire que c'était un très malin charlatan.

Après une longue pause, il continua notre dialogue.

"Combien de côtés et combien d'angles possède un carré ?"

Moi : " Quatre côtés et quatre angles. "

La Sphère : " A présent élargissez vos vues et imaginez un carré

du Monde Plat (vous en êtes un) avec son côté, ou

ce que vous appelez son intérieur, se déplaçant

parallèlement à lui-même, vers le haut."

( Le lecteur élèvera graduellement le carton carré parallèlement à la table. )

Moi : " Quoi ! vers le Nord ? "

La Sphère : " Non ; pas vers le Nord. Vers le haut : En dehors du

Monde Plat complètement."

Dominant mon impatience, je répondis : " Et quelle pourrait être la nature de la Figure que je décrirais par ce mouvement que vous vous plaisez à appeler par le nom de " vers le haut"

La Sphère : " Un cube, avec huit pointes (ou angles)

Moi : " Et combien de côtés aurait cet être que je générerais par

le déplacement dans une direction "vers le haut" de mon

"intérieur" ?"

La Sphère : " Le cube que vous générerez sera bordé de six

côtés: c'est-à-dire six de ce que vous appelez vôtre

"intérieur". Vous comprenez tout à présent, eh...?"

"Monstre ! "dis-je d'un cri perçant" que vous soyez un charlatan, un enchanteur, un rêve ou un démon, je ne supporterai pas vos moqueries plus que ça. De vous ou moi l'un devra périr" .

En disant ces mots je me précipitais sur lui. Ce fût en vain. Je pouvais le sentir glisser de mon contact : non pas se débattre à gauche ou à droite, mais se mouvoir en dehors du Monde en quelque sorte et disparaître. Mais j'entendais toujours la voix de l'intrus.

La Sphère : " Pourquoi refusez-vous d'entendre la voix de la

raison ? j'avais cru trouver en vous un fidèle

apôtre de la Troisième Dimension. Écoutez mon ami.

Je vous ai dit que je pouvais voir de ma position

dans l'espace l'intérieur de toutes les choses que

vous considérez closes. Par exemple je vois dans le

placard, auprès duquel vous vous tenez, plusieurs

de ce que vous appelez boites (mais comme toutes

choses dans le Monde Plat, elles n'ont ni fond ni

couvercle) pleines d'argent. Je vois aussi deux

livres de comptes. Je vais descendre vers ce

placard et vous amener un de ces livres. Je vous ai

vu cadenasser ce placard il y a une demi-heure et

je sais que vous avez la clé en votre possession.

Mais je descends de l'espace ; la porte ; vous voyez

reste fermée. Là je suis dans le placard et je prends

le livre. Là je l'ai. Là je remonte avec."

Je me ruais sur le placard, et j'en ouvris brusquement la porte. L'un des livres avait disparu. Au même instant il apparut sur le sol de la pièce.

Tout cela pourtant ne parvint pas à convaincre notre carré, qui se mit dans une rage folle contre notre cercle qui était de nouveau apparu.

La sphère alors, ne voulant pas le laisser dans son ignorance,

et en dernière ressource, souleva le pauvre carré en dehors de son Monde Plat : En dehors du Monde à Deux Dimensions, dans l'espace de notre Monde à Trois Dimensions.

Nous le suivrons là dans le prochain chapitre.