Grundlagen fuer die Berechnung des Waermekraftprozesses und der Dynamik von Alpha-Typ Stirlingmotoren mit dem Programm STMOT2

Dipl.-Ing. Peter Fette; Am Schäferloch 16; D-75045 Walzbachtal /Germany

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14. Berechnung der Wärmeübergänge

In der hier beschriebenen α-Typ Stirlingmaschine nach Abb.1 erfolgt die Wärmezufuhr auf das Arbeitsgas im Expansionszylinder durch Beregnung mit heißer bzw. die Kühlung des Arbeitsgases im Kompressionszylinder durch Beregnung mit kalter Arbeitsflüssigkeit. In jedem Zylinderkopf befindet sich eine Düsenplatte mit entsprechend vielen Löchern, durch die die Flüssigkeit hindurchgedrückt wird. An der Oberfläche der Flüssigkeitsstrahlen vollzieht sich der Wärmeübergang. Wird dabei eine Arbeitsflüssigkeit mit geeignetem Dampfdruck gewählt, z.B. Wasser, dann durchdringen Dampfmoleküle das Arbeitsgas und bewirken auf der heißen Seite einen noch besseren Wärmeübergang, als ein Wärmeübergang, der nur über die Oberfläche der Flüssigkeitsstrahlen berechnet worden wäre. Durch entsprechende Experimente konnte dieses belegt werden. Siehe in diesem Zusammenhang auch Kapitel 11.

Für die Berechnung des Wämeübergangs seien folgende Größen, die z.T. auch schon in den vorherigen Kapiteln benutzt wurden, definiert. Die Indizes: "e" stehen für "Expansionszylinder" und: "c" für "Kompressionszylinder":

DELT in Sekunden ist die Rechenschrittweite in dem FORTRAN 77 Programm, mit dem die Berechnungen durchgeführt werden. Differentiation erfolgt durch Differenzenbildung. Integration ist die Summierung dieser Differenzen. Bei genügend kleiner Schrittweite DELT lassen sich gute Ergebnisse erzielen.
P0 Ruhe - Gasdruck in der kalten Maschine bei der Temperatur T0 Bar
P Gasdruck in allen Räumen der Maschine Bar
PV Gasdruck in allen Räumen der Maschine im vorherigen Rechenschritt Bar
DH Durchmesser im Expansionszylinder cm
DK Durchmesser im Kompressionszylinder cm
H_e Höhe des Gasraumes im Expansionszylinder m
H_c Höhe des Gasraumes im Kompressionszylinder m
U_e,U_c Kolbengeschwindigkeit m/sec
TE neue sich ändernde Temperatur im Expansionszylinder K
TEV Temperatur im Expansionszylinder im vorherigen Rechenschritt K
TER Temperatur am Ende des Regenerators zum Expansionszylinder K
TGAS_e Gas-Temperatur im Expansionszylinder ohne Berücksichtigung des Wärmeübergangs durch Dampfmoleküle K
TW1E Eintrittstemperatur der Arbeitsflüssigkeit in den Expansionszylinder K
TW2E Austrittstemperatur der Arbeitsflüssigkeit aus dem Expansionszylinder K
TC neue sich ändernde Temperatur im Kompressionszylinder K
TCV Temperatur im Kompressionszylinder im vorherigen Rechenschritt K
TCR Temperatur am Ende des Regenerators zum Kompressionszylinder K
TGAS_c Gas-Temperatur im Kompressionszylinder ohne Berücksichtigung des Wärmeübergangs durch Dampfmoleküle K
TW1C Eintrittstemperatur der Arbeitsflüssigkeit in den Kompressionszylinder K
TW2C Austrittstemperatur der Arbeitsflüssigkeit aus dem Kompressionszylinder K
T0 Anfangstemperatur des Arbeitsgases in der kalten Maschine K
VE variabler Gasraum im Expansionszylinder cm**3
VC variabler Gasraum im Kompressionszylinder cm**3
VG gesamter variabler Gasraum in der Maschine cm**3
FQ_e, FQ_c Querschnitt des Expansions- und Kompressionszylinders cm**2
ME Gasmasse im Expansionszylinder Gramm
MEV Gasmasse im Expansionszylinder im vorherigen Rechenschritt Gramm
d_ME Differential der Gasmasse im Expansionszylinder d_ME = (ME - MEV) / DELT, muß aus dem vorherigen Rechenschritt bekannt sein Gramm/sec
MC Gasmasse im Kompressionszylinder Gramm
MCV Gasmasse im Kompressionszylinder im vorherigen Rechenschritt Gramm
d_MC Differential der Gasmasse im Expansionszylinder d_MC = (MC - MCV) / DELT, muß aus dem vorherigen Rechenschritt bekannt sein Gramm/sec
BEVOL Einspritz - Volumenstrom Liter/sec
NDU_e, NDU_c Anzahl der Einspritzdüsen -
DUDU_e, DUDU_c Durchmesser der Düsen cm
FQDU_e = NDU_e * DUDU_e² * π/4 Strömungs-Querschnitt aller Einspritzstrahlen cm**2
FQDU_c = NDU_c * DUDU_c² * π/4 Strömungs-Querschnitt aller Einspritzstrahlen cm**2
FQEL = FQ_e - FQDU_e Strömungs-Querschnitt für das Gas im Expansionszylinder cm**2
FQCL = FQ_c - FQDU_c Strömungs-Querschnitt für das Gas im Kompressionszylinder cm**2
DGL_e hydraulischer Durchmesser = 4*FQ/Umfang : DGL_e = 4 * FQEL /( (NDU_e * DUDU_e + DH) * π * 100.) ) m
DGL_c hydraulischer Durchmesser = 4*FQ/Umfang : DGL_c = 4 * FQCL /( (NDU_c * DUDU_c + DK) * π * 100.) ) m
UDU0_e, UDU0_c Einspritzgeschwindigkeit der Flüssigkeitsstrahlen m/sec
UDU_e, UDU_c Differenz-Geschwindigkeit: Flüssigkeit - Gas m/sec
ODU_e = DUDU_e/100. * π * H_e Oberfläche eines Einspritzstrahles m**2
ODU_c = DUDU_c/100. * π * H_c Oberfläche eines Einspritzstrahles m**2
OFR_e, OFR_c Oberflächenfaktor der Einspritzstrahlen -
OALL_e = ODU_e * NDU_e * OFR_e Oberfläche aller Einspritzstrahlen m**2
OALL_c = ODU_c * NDU_c * OFR_c Oberfläche aller Einspritzstrahlen m**2
ν_e Dynamische Viskosität des Gases im Expansionszylinder m**2 /sec
ν_c Dynamische Viskosität des Gases im Kompressionszylinder m**2 /sec
für Luft: ν = (158.2 + 1.06 * (T - 273.15 - 25.)) * 10^-7/P
für Wasserstoff: ν = (0.841 + 0.0019 * (T - 273.15)) * 10^-5/ρ
λ_e Wärmeleitfähigkeit des Gases im Expansionszylinder Watt/(m * K)
λ_c Wärmeleitfähigkeit des Gases im Kompressionszylinder Watt/(m * K)
für Luft: λ = 0.02626 + 0.069*10^-3 * (T - 273.15 - 25.)
für Wasserstoff: λ = 0.166 + 0.445+10^-3 * (T - 273.15)
REYNL_e, REYNL_c Reynoldszahl des an der Oberfläche der Einspritzstrahlen bewegten Arbeitsgases -
PR Prandtlsche Kenngröße des Arbeitsgases -
P_e, P_c = REYNL * PR Pécletsche Kenngröße des Arbeitsgases -
NU_e, NU_c Nusseltsche Kenngröße nach Hausen |2| S.36 und S. 41 -
α_e Wärmeübergangszahl an der Oberfläche der Einspritzstrahlen im Expansionszylinder Watt/(m**2*K)
α_c Wärmeübergangszahl an der Oberfläche der Einspritzstrahlen im Kompressionszylinder Watt/(m**2*K)
Cp_We, Cp_Wc spez. Wärme der Flüssigkeit Watt*s/gr*K
ρ_We, ρ_Wc Dichte der Flüssigkeit Gramm/Liter
Cp_GSe, Cp_GSc spez. Wärme des Arbeitsgases Watt*s/gr*K
ρ_GSe, ρ_GSc Dichte des Arbeitsgases Gramm/Liter
QW_e, QW_c, QGAS_e, QGAS_c übertragene Energie Watt*s
d_QW_e, d_QW_c, d_Qgas_e, d_Qgas_c Differentiale der übertragenen Energie Watt
d_QVL_e Abstrahlungsverluste an den heißen Teilen der Maschine Watt
d_QVL_c Kühlungsverluste an den kalten Teilen der Maschine Watt

Die Berechnung erfolgt nach den 3 Gleichungen für die Energieströme in der Maschine

------- auf der heißen Seite:

d_QW_e = ρ_We * Cp_We * BEVOL * (TW1E - TW2E) von der Flüssigkeit abgegebene Wärme
d_Qgas_e= α_e * OALL_e * ( (TW1E + TW2E)/2 - TGAS_e) vom Gas aufgenommene Energie
d_Qzu = PV * d_VE/10 + C_v * MEV * d_TGAS_e + C_v * d_ME * (TGAS_e - TER) dem Prozeß im Expansionszylinder zugeführte Energie
mit d_TGAS_e = (TGAS_e - TGAS_eV)/DELT, d_ME muß aus dem vorherigen Rechenschritt bekannt sein

d_Qgas_e= d_Qzu ---> Gl. (2) = (3)
d_QW_e = d_Qzu + d_QVL_e von der Flüssigkeit abgegebene Wärme = d_Qzu + von den heißen Teilen abgestrahlte Energie

daraus errechnen sich TW2E und TE.

------- auf der kalten Seite:

d_QW_c = ρ_Wc * Cp_Wc * BEVOL * (TW1C - TW2C) von der Flüssigkeit abgekühlte Energie
d_Qgas_c= α_c * OALL_c * ( (TW1C + TW2C)/2 - TGAS_c) vom Gas abgegebene Energie
d_Qab = PV * d_VC/10 + C_v * MCV * d_TGAS_c + C_v * d_MC * (TGAS_c - TCR) dem Prozeß im Kompressionszylinder weggekühlte Energie
mit d_TGAS_c = (TGAS_c - TGAS_cV)/DELT, d_MC muß aus dem vorherigen Rechenschritt bekannt sein

d_Qgas_c= d_Qab ---> Gl. (2) = (3)
d_QW_c = d_Qab + d_QVL_c von der Flüssigkeit aufgenommene Wärme = d_Qab + von den kalten Teilen abgestrahlte Energie

daraus errechnen sich TW2C und TC.

Die Regeneratortemperaturen TER am Ende des Regenerators bei Eintritt in den Expansionszylinder und TCR am anderen Ende des Regenerators bei Eintritt in den Kompressionszylinder bestimmen sich bei verlustbehaftetem Regenerator nach Gl. (8.3) bzw. (8.4) siehe Kapitel 8. Damit bei den Differentialen keine Unstetigkeit aufkommt, ist es zweckmäßig, einen cos-förmigen Übergang dieser Temperaturen zu programmieren für den Gaswechsel: Regenerator <--> Zylinder.

Ziel ist es, die α Zahlen für die Wärmeübergänge zu berechnen.

(14.1) α = NU * λ / DGL

Dafür muß zunächst in beiden Zylindern die Nusseltsche Kenngröße NU berechnet werden. Diese wiederum ist eine Funktion der Reynoldszahl. Zur Berechnung der Reynoldszahl muß zwischen laminarer und turbulenter Gasströmung unterschieden werden. Die Gasströmung wechselt in den Zylindern, die Flüssigkeitsströmung durch die Düsen ist konstant. BEVOL ist ein konstanter Wert. Die in die Reynoldszahlberechnung einzusetzende Geschwindigkeit ist zweckmäßgerweise die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen Gasströmung und Flüssigkeitsströmung. Bekannt ist die Geschwindigkeit des Kolbens. Die Gasgeschwindigkeit sei in dem durch die Einspritzstrahlen verengten Zylinderquerschnitt näherungsweise folgendermaßen definiert:

Für den Expansionszylinder:

(14.2.1) U_{Gas_e} = U_e * FQ_e / FQEL

Entsprechend für den Kompressionszylinder:

(14.2.2) U_{Gas_c} = U_c * FQ_c / FQCL

Die wirksame Geschwindigkeit als Differenz zwischen Flüssigkeits- und Gasströmung ist im Expansionszylinder:

(14.3.1) UDU_e = UDU0_e - U_{Gas_e}

und die wirksame Geschwindigkeit als Differenz zwischen Flüssigkeits- und Gasströmung im Kompressionszylinder ist:

(14.3.2) UDU_c = UDU0_c - U_{Gas_c}

Damit errechnet sich die Reynoldszahl für den Expansionszylinder:

(14.4.1) REYNL_e = UDU_e * DGL_e / ν_e

Entsprechend für den Kompressionszylinder:

(14.4.2) REYNL_c = UDU_c * DGL_c / ν_c

Die Pécletsche Kenngröße ist, wie oben schon beschrieben, definiert zu: PE = REYNL * PR. Die Prandtlesche Kenngröße PR wird hier in dem benötigten Temperaturbereich als konstant angesehen. Die übrigen Stoffwerte, wie die Wärmeleitfähigkeit λ, die Dichte ρ, die spez. Wärme C_p, die dynamische Viskosität ν des Gases, sowie die Stoffwerte der Arbeitsflüssigkeit, müssen als Funktionen der Temperatur eingegeben werden.

Im Bereich turbulenter Strömung REYNL > 2300 berechnet sich jetzt die Nusseltsche Kenngröße zu:

(14.5.1) NU_e = 0.0326 * REYNL_e^0.786 * PR^0.45 * (DGL_e / H_e)^0.054

(14.5.2) NU_c = 0.0326 * REYNL_c^0.786 * PR^0.45 * (DGL_c / H_c)^0.054

Und im Bereich laminarer Strömung REYNL < 2300 berechnet sich die Nusseltsche Kenngröße zu:

(14.6.1) NU_e = (3.65 + 0.0668 * PE_e /(1 + 0.045 * PE_e^0.667 ) )

(14.6.2) NU_c = (3.65 + 0.0668 * PE_c /(1 + 0.045 * PE_c^0.667 ) )

Die Wärmeübergangszahl α ergibt sich entsprechend Gl.(14.1) mit den bisher berechneten Größen zu:

(14.7.1) α_e = NU_e * λ_e / DGL_e

(14.7.2) α_c = NU_c * λ_c / DGL_c

Zur Vereinfachung der nachfolgenden Formeln für die Berechnung der Temperaturen "TE", "TC", "TW2E" "TW2C" sowie "TGAS_e" und "TGAS_c" werden folgende Zusammenfassungen gebraucht:

(14.8.1) A1_e = α_e * OALL_e

(14.8.2) A1_c = α_c * OALL_c

(14.9.1) B1_e = ρ_We * Cp_We * BEVOL

(14.9.2) B1_c = ρ_Wc * Cp_Wc * BEVOL

(14.10.1) D1_e = C_V * MEV / DELT + C_V * d_ME

(14.10.2) D1_c = C_V * MCV / DELT + C_V * d_MC

(14.11.1) C1_e = PV * FQ_e/FQEL * d_VE/10. - C_V * TGAS_eV * MEV/DELT + C_V * TER * d_ME

(14.11.2) C1_c = PV * FQ_c/FQCL * d_VC/10. - C_V * TGAS_cV * MCV/DELT + C_V * TCR * d_MC

(14.12.2) F1_e = A1_e * D1_e / (A1_e + D1_e)

(14.12.2) F1_c = A1_c * D1_c / (A1_c + D1_c)

Mit diesen Zusammenfassungen ergibt sich nach den oben genannten 3 Gleichungen für die Energieströme die Austrittstemperatur der eingespritzten Arbeitsflüssigkeit TW2E für den Expansionszylinder und TW2C für den Kompressionszylinder.

(14.13) TW2E = (TW1E * (B1_e - F1_e/2.) - C1_e * (1. - F1_e/A1_e) - d_QVL_e) / (B1_e + F1_e/2.)

(14.14) TW2C = (TW1C * (B1_c - F1_c/2.) - C1_c * (1. - F1_c/A1_c) - d_QVL_c) / (B1_c + F1_c/2.)

Weiter ergibt sich obigen 3 Gleichungen die Gastemperatur TGAS_e für den Expansionszylinder und TGAS_c für den Kompressionszylinder.

(14.15) TGAS_e = (A1_e * (TW1E + TW2E)/2. - C1_e) / (A1_e + D1_e)

(14.16) TGAS_c = (A1_c * (TW1C + TW2C)/2. - C1_c) / (A1_c + D1_c)

Soweit die Wärmeübergangsrechnung von der Flüssigkeitsoberfläche auf das Arbeitsgas. Die Wirkung der in das Gas hinein diffundierenden Dampfmoleküle zur Verbesserung des Wämeübergangs ist auch experimentell nachgewiesen. Folgende Gleichungen beschreiben die "Mischtemperatur" des aus Gas + Dampf zusammengesetzten Arbeitsfluids:

(14.17) TE = TMIX_e = (MEV * C_{P_Ge} * TGAS_e + SDM_e * C_{P_De} * TW1E) / (MEV * C_{P_Ge} + SDM_e * C_{P_De})

(14.18) TC = TMIX_c = (MCV * C_{P_Gc} * TGAS_c + SDM_c * C_{P_Dc} * TW1C) / (MCV * C_{P_Gc} + SDM_c * C_{P_Dc})

In Gl.(14.17) und (14.18) bedeuten:
C_{P_De} bzw. C_{P_Dc} die spez. Wärme des Sattdampfes bei der Temperatur TW1E bzw. TW1C.
C_{P_Ge} bzw. C_{P_Gc} ist die spez. Wärme des Gases bei TE bzw. bei TC.
SDM_e bzw. SDM_c ist die Sattdampfmasse bei der Temperatur TW1E bzw. TW1C im Volumen VE bzw. in VC.

Wie sich die Verbesserung des Wärmeübergangs bemerkbar macht, zeigt Abb.15. Abb.15 bringt die ersten zwei Umdrehungen nach dem Start der Maschine. Aufgetragen über den Kurbelwinkel sind für die 1. Teilmaschine: TC,TE,TGAS_e,TGAS_c, der Gesamtdruck PGES = P + PS -siehe auch Kapitel 11- sowie das Gesamtvolumen VG. Dabei fällt auf, daß eigentlich nur im Expansionszylinder ein Gewinn zu erzielen ist, der darin liegt, daß die Temperatur TE möglichst wenig von der Einspritztemperatur der Arbeitsflüssigkeit TW1E=TH abweicht. Das liegt daran, daß auch nur hier im Expansionszylinder eine signifikante Dampfmasse entsteht, die den Wärmeübergang verbessert. Im Kompressionszylinder herrscht bei der niederen Temperatur TW1C der eingepritzten Wassermasse nur ein sehr geringer Dampfdruck; die dabei entstehende Dampfmasse ist praktisch gleich 0.
Daten für die Berechnung dieses Diagramms sind: TH=400, TK = 300 K, Einspritzvolumen BEVOL = 1 Liter/sec, Anzahl der Düsen in beiden Zylinderköpfen NDU_e,c = 186, Düsendurchmesser DUDU_e,c = 0.15 cm. Das Totvolumen beträgt in beiden Zylindern 50 % des Hubvolumens, Ruhedruck P0=5 Bar. Der Wärmeübergang ist auch eine Funktion der Zeit; d.h. bei langsameren Umdrehungen ist der Wärmeübergang besser als bei schnelleren Umdrehungen. Das macht sich in der Amplitude der Temperaturkurven bemerkbar. Je größer diese Spreizung ist, um so kleiner ist das für Wirkungsgrad und Arbeitsgewinn pro Umdrehung maßgebende ΔT. Je langsamer aber die Maschine dreht, um so geringer wird die Leistung. Man muß ein maschinenspezifisches Optimum finden zwischen Drehzahl und Leistung, siehe Abb.16.

Kapitel 13
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