Четырех-ускорения в СТО.

Назад: Виды ускорений в СТО.

Вектора различных 4-ускорений получим взятием производной от V=(v,ic), B=(b,icg), v=(v/с,i), b=(b/с,ig) по t и t:

dV/dt = (dv/dt, 0),
dV/dt = (gdv/dt, 0),
dB/dt = (db/dt, i(bdb/dt) / gc),
dB/dt = (gdb/dt, i(bdb/dt) / c),
dv/dt = (dv/(cdt), 0)
dv/dt = (gdv/(cdt), 0),
db/dt = (db/(cdt), i(bdb/dt) / gc²),
db/dt = (gdb/(cdt), i(bdb/dt) / c²).

Умножая скалярно 4-вектор собственной скорости B = (b, icg), или b=(b/с,ig) на любой из векторов ускорений dB/dt, dB/dt, db/dt, db/dt, замечаем, что их скалярные произведения равны нулю, то есть векторы B и b ортогональны векторам dB/dt, dB/dt, db/dt, db/dt, а сами параллельны между собой:

(b·db/dt) = 0, (b·db/dt) = 0, и т.д. для любых комбинаций b и B.

Но 4-вектора v-скоростей и v-ускорений не являются ортогональными.

4-ускорение у "Ландау и Лифшиц".

Во 2-ом томе Теоретической Физики (Теория Поля, М. Наука, 1988, стр.41) мы находим параграф о четырехмерной скорости и 4-ускорении. Я переписываю сюда этот параграф красным цветом, добавляя свои комментарии черным цветом.

Из обычного трёхмерного вектора скорости можно образовать и четырехмерный вектор. Такой четырехмерной скоростью (4-скоростью) частицы является вектор

uⁱ = dxⁱ/ds. (7,1)

В (7,1) записан контравариантный вектор, и предполагается, что у ковариантного вектора пространственные компоненты имеют другой знак. Мы пишем то же самое через комплексные вектора, содержащие i=sqr(-1):

b = dR/ds = dR/(cdt)= dr/dt = (b/с, ig).

Для нахождения его компонент замечаем, что согласно (3,1)

ds = c dt sqr(1-v²/c²),

где v - обычная трехмерная скорость частицы. Поэтому

u¹ = dx¹/ds = dx / (c dt sqr(1-v²/c²)) = v_x / (c sqr(1-v²/c²))

и т.п. Таким образом:

uⁱ = (1 / sqr(1-v²/c²), v / (c sqr(1-v²/c²))). (7,3)

Учитывая, что временная компонента здесь идет под индексом "0", а у нас под номером четыре, замечаем, что это выражение соответствует собственной 4-скорости в наших обозначениях:

b = (b/с, ig) = (vg/с, ig).

Отметим, что 4-скорость есть величина безразмерная.

Компоненты 4-скорости не независимы. Замечая, что dx_idxⁱ=ds², имеем:

u_iuⁱ = 1. (7,3)

Геометрически uⁱ есть единичный 4-вектор касательной к мировой линии частицы.

Аналогично определению 4-скорости, вторую производную

wⁱ = d²xⁱ / ds² = duⁱ / ds = duⁱ / (cdt)

можно назвать 4-ускорением.

Это действительно 4-ускорение. Это ускорение соответствует второму из наших 4-ускорений, выписанных ниже. Но во второй закон Ньютона входит пространственная компонента первого уравнения

1. dB/dt = (db/dt, i(bdb/dt) / gc),
2. dB/dt = (gdb/dt, i(bdb/dt) / c).

Дифференцируя соотношение (7,3), найдем:

u_iwⁱ = 0, (7,4)

т.е. 4-векторы скорости и ускорения взаимно ортогональны.

Да, и полные размерные dB/dt, и dB/dt, и единичные безразмерные db/dt и db/dt ортогональны собственной 4-скорости, и полной размерной B, и единичной безразмерной b.

Задача

Определить релятивистское равноускоренное движение, т.е. прямолинейное движение, при котором остается постоянной величина ускорения w в собственной (в каждый данный момент времени) системе отсчета.

Р е ш е н и е. В системе отсчета, в которой скорость частицы v = 0, компоненты 4-ускорения равны wⁱ = (0, w/c², 0, 0) (w - обычное трехмерное ускорение, направленное вдоль оси x). Релятивистски инвариантное условие равноускоренности должно быть представлено в виде постоянства 4-скаляра, совпадающего с w² в собственной системе отсчета:

wⁱw_i = const = - w²/c⁴.

В "неподвижной" системе отсчета, относительно которой рассматривается движение, раскрытие выражения wⁱw_i приводит к уравнению

d(v / sqr(1-v²/c²)) / dt = w, или v / sqr(1-v²/c²) = wt + const.

Согласно нашим обозначениям этой записи соответствует db/dt = w, или b = wt + const. То есть, поскольку w=const, то и db/dt=const, и dr/dt=const, т.к. dr/dt=db/dt. Ускорения других типов связаны с этим ускорением через g в некоторой степени, а g не является константой, поскольку зависит от скорости, следовательно, другие типы ускорений не являются константами для релятивистски равноускоренного движения.

Полагая v = 0 при t = 0, имеем const = 0, так что

v = wt / sqr(1+w²t²/c²).

Интегрируя еще раз и полагая x = 0 при t = 0, получим:

x = (c²/w) / (sqr(1+w²t²/c²) - 1).

При wt значительно меньше c эти формулы переходят в классические выражения v = wt, x = wt²/2. При wt --> "бесконечность" скорость стремится к постоянному значению c.

Собственное время равноускоренно движущейся частицы дается интегралом

₀I ^t sqr(1-v²/c²) dt = (c/w) Arsh wt/c.

При t --> "бесконечность" оно растет по значительно более медленному чем t закону (c/w)ln(2wt/c).

ЛИТЕРАТУРА

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая Физика, том 2, Теория Поля, М. "Наука", 1988.

Вперёд: Релятивистская ракета.
Назад: Виды ускорений.
К оглавлению раздела Некоторые вопросы СТО.
К другим разделам Космической Генетики.

Иван Горелик

Моё резюме